מכפלה מעורבת

מכפלה מעורבת (או מכפלה משולשת) היא פעולה על שלושה וקטורים במרחב התלת־ממדי R^3. ההגדרה הנוחה היא:
a·(b×c)
זה אומר: מכפלה סקלרית (מכפלה שמחזירה מספר) של וקטור a ב־(b×c). כאן b×c היא המכפלה הווקטורית, הפעולה שנותנת וקטור שניצב לשני הווקטורים הנתונים.

התוצאה של המכפלה המעורבת היא מספר. מוחלט של המספר שווה לנפח של המקבילון שבנוי על a, b, c. כלומר, אם בונים תיבה נטויה מהווקטורים האלה, הנפח שלה הוא |a·(b×c)|.
הסימן (חיובי או שלילי) קשור לכיוון הסדר של הווקטורים: סדר ימני או שמאלי. אם הווקטורים קו־פלנריים (על אותו מישור), המכפלה שווה לאפס, כי המקבילון שטוח ונפחו אפס.
המכפלה שווה גם לדטרמיננטה של המטריצה שמעמידים בה את הווקטורים כשורות או כעמודות. מכאן נובעות הזהויות הציקליות:
a·(b×c) = c·(a×b) = b·(c×a)
והחלפת שני וקטורים משנה את הסימן:
a·(b×c) = −a·(c×b)
כמו כן מתקיים לכל a,b: a·(a×b) = 0.

יש גרסה שנגזרת מהמילה "משולשת" שמחזירה וקטור, ולא מספר. זו המכפלה:
a×(b×c).
הזהות החשובה היא:
a×(b×c) = (a·c) b − (a·b) c
מנמוניקה נפוצה לזכור את זה היא "BAC − CAB".

אפשר לפרק את b ו־c לכל אחד לשני חלקים: חלק בכיוון a וחלק שניצב ל־a. חלקים מסוימים במכפלות הווקטוריות מתאפסים כי הם בכיוון זהה. בעזרת אנטי־חילופיות של המכפלה הווקטורית והעובדה ש־x×(x×y) = −y בבסיס אורתונורמלי, נשארים רק שני טרמים שמובילים לזהות שלמעלה.

מכפלה מעורבת היא פעולה על שלושה וקטורים במרחב תלת־ממדי. וקטור הוא כיוון וגודל.
רשום אותה כך: a·(b×c).
כאן "·" זו מכפלה סקלרית. סקלר זה מספר. "×" זו מכפלה וקטורית. היא נותנת וקטור חדש שניצב לשני המקוריים.

התוצאה היא מספר. הגודל של המספר הוא הנפח של צורה הנקראת מקבילון. מקבילון זה דומה לקופסה נטויה שנבנית מהווקטורים.
אם הווקטורים נמצאים על אותו מישור, המספר הוא 0. זאת כי הצורה שטוחה ואין לה נפח.
הסימן של המספר (חיובי או שלילי) תלוי בסדר הווקטורים.

יש גם פעולה שמחזירה וקטור: a×(b×c).
נוסחה חשובה היא:
a×(b×c) = (a·c) b − (a·b) c.
מילים פשוטות: אפשר לפרק את b ו־c לחלק בכיוון a ולחלק שניצב לו. חלקים מסוימים מתבטלים, ונשארים שני חלקים שמקנים את הנוסחה.