מטריצת היחידה

מטריצת היחידה מסדר n היא מטריצה ריבועית בגודל n×n שבה כל איברי האלכסון הראשי הם 1, ושאר האיברים הם 0. מסמנים אותה I_n או פשוט I אם הגודל ברור.

מטריצת היחידה היא איבר נייטרלי בכפל מטריצות: אם A בגודל m×n אז I_m A = A I_n = A. כטרנספורמציה ליניארית היא מייצגת את העתקת הזהות, כלומר Iv = v לכל וקטור v.

דוגמאות פשוטות: I_1 = [1], I_2 = [[1,0],[0,1]], I_3 = [[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]. באופן כללי אפשר לכתוב I_n = diag(1,1,…,1), כלומר מטריצה אלכסונית (מטריצה שרק האלכסון שלה יכול להכיל ערכים שונים מאפס).

אפשר גם להגדיר את האיברים של I בעזרת דלתא של קרונקר: (I_n)_{ij}=δ_{ij}, כלומר הערך הוא 1 אם המדד של השורה שווה למדד של העמודה, ואחרת 0.

תכונות חשובות: מטריצת היחידה היא סימטרית, הרמיטית (תכונה במטריצות מורכבות), אורתוגונלית ואוניטרית (התכונות האלה אומרות שהיא שומרת אורכים וזוויות). עמודותיה ושורותיה מהוות בסיס אורתונורמלי ל-F^n, כלומר וקטורים שניצבים זה לזה ובעלי אורך 1. הדטרמיננטה שלה שווה ל-1, כל הערכים העצמיים שלה (eigenvalues) הם 1, היא הפיכה ודרגתה היא n.

מטריצת היחידה משמשת גם בחישובים נומריים ובטכניקות כמו פירוקים אינטרפולטיביים.

מטריצת היחידה (I_n) היא "טבלה" של מספרים בגודל n×n. בקו האלכסון הראשי יש 1. בכל מקום אחר יש 0.

כשמכפילים כל מטריצה ב-I, המטריצה נשארת זהה. זה כמו להכפיל מספר ב-1.

דוגמאות קטנות: I_1 = [1]. I_2 = [[1,0],[0,1]]. I_3 דומה, רק גדול יותר.

אפשר לכתוב אותה כ־diag(1,1,…,1). גם כותבים את הערכים שלה בעזרת סימן δ: זה 1 כששורה=עמודה, ו-0 אחרת.

תכונות פשוטות: כל שורה ועמודה הם וקטורים שכל אחד מהם עומד בזווית נכונה לשאר (זה נקרא בסיס אורתונורמלי). הדטרמיננטה שלה שווה 1. יש לה הופכי והיא מלאה (דרגה n). מטריצת היחידה עוזרת בחישובים ובפירוקים מתמטיים.