מטריקה

מטריקה (פונקציית מרחק) היא פונקציה שמקצה לכל זוג נקודות מספר לא שלילי. המספר הזה מייצג "מרחק" כללי, ולא רק המרחק האוקלידי המוכר.
יש שלוש תכונות עיקריות שמגדירות מטריקה. המרחק בין שתי נקודות שונות תמיד חיובי; אם המרחק אפס, שתי הנקודות זהות. המרחק סימטרי: d(x,y)=d(y,x). וגם חלה אי-שוויון המשולש: המרחק הישיר בין שתי נקודות אינו יותר גדול מסכום המרחקים דרך נקודה ביניים.
ניתן להחליף את אי-שוויון המשולש בגרסה חזקה יותר d(x,z) ≤ max{d(x,y),d(y,z)}. אז המטריקה נקראת לא-ארכימדית; במרחב כזה כל משולש הוא שווה-שוקיים.

יהי S קבוצה. פונקציה d: S×S → R תקרא מטריקה אם לכל x,y,z∈S מתקיימים:
1) d(x,y)=0 אם ורק אם x=y.
2) d(x,y)=d(y,x) (סימטריה).
3) d(x,z) ≤ d(x,y)+d(y,z) (אי-שוויון המשולש).
מתוך האקסיומות נובע ש-d(x,y)≥0. הקבוצה S יחד עם d נקראת מרחב מטרי, ומסומנת (S,d).

במרחב האוקלידי המוכר, המטריקה היא המרחק הרגיל. לעומת זאת, מרחק על מפה לפי זמן נסיעה עשוי לא להיות מטריקה אם קיימים כבישים חד-סטריים, כי אז d(x,y) עשוי שלא להיות שווה ל-d(y,x).

שתי מטריקות על אותה קבוצה נקראות שקולות אם הן מייצרות את אותה טופולוגיה, כלומר אותן קבוצות פתוחות. זאת משמעותית כי זה אומר שאותן סדרות יתכנסו או לא יתכנסו באותה צורה בשתיהן. עם זאת, תכונה כמו "סדרת קושי" (Cauchy), שתלויה במטריקה, עשויה להשתנות בין מטריקות שקולות.

בגאומטריה דיפרנציאלית המושג "מטריקה" מתייחס לטנזור מטרי, שהוא שדה טנזורי על יריעה חלקה M. הטנזור הזה קובע "אלמנט אורך אינפיניטסימלי" ds, כלומר איך מודדים מרחקים זעירים סביב כל נקודה. כדי לקבל מרחק בין שתי נקודות a ו-b מחשבים אינטגרל של ds לאורך עקומה שמחברת ביניהן ומחפשים את הערך הקטן ביותר (האִינפִּריםום), זהו המרחק הגיאודזי.

בתורת היחסות הפרטית המרחב-זמן מצויד במטריקה מסוג מינוקובסקי, שבה ds^2 כולל את הפרש הזמנים ואת המרחק המרחבי, והערך בריבוע יכול להיות אפס או שלילי. לכן קוראים לזה מטריקה מוכללת. בתורת היחסות הכללית המטריקה היא טנזור מטרי כללי הפותר את משוואות איינשטיין. דוגמה חשובה היא מטריקת שוורצשילד, שמתארת את העקמומיות סביב מסה כדורית כמו חור שחור, ועזרה בבדיקת תורת היחסות הכללית.

מטריקה היא חוק שאומר כמה מרוחק דבר אחד מדבר אחר. היא נותנת מספר לא שלילי לכל זוג נקודות.
היא חייבת לקיים שלוש כללים: אם המרחק אפס אז זו אותה נקודה. המרחק לא משתנה אם מחליפים ביניהן את הנקודות. הדרך הישירה לא יכולה להיות ארוכה יותר מדרך שעוברת דרך נקודות ביניים.

נתינה של קבוצת נקודות ו"חוק מרחק" בין כל שתי נקודות יוצרת מרחב מטרי.

מרחק רגיל במישור הוא מטריקה. מדידת זמן נסיעה על מפה יכולה לא להתאים אם יש כבישים שאפשר לנסוע בהם רק בכיוון אחד.

שתי מטריקות נקראות שקולות אם הן מאפשרות לאותן סדרות להתכנס לאותן נקודות. זה אומר שהן חושבות את אותם אזורים כ"קרובים".

במקומות מעקממים משתמשים בטנזור מטרי. זה כמו מד-מרחק מקומי שמספר איך למדוד מרחקים זעירים ליד כל נקודה. כדי למדוד מרחק בין שתי נקודות מחברים את כל הקטעים הקטנים ויוצרים את הדרך הקצרה ביותר.

בתורת היחסות יש מרחב-זמן עם מטריקה שמערבבת זמן ומרחב. שם המרחק בריבוע יכול להיות אפס או אפילו שלילי. בתורת היחסות הכללית המטריקה מתארת איך מסה מעקמת את המרחב. המטריקה של שוורצשילד מתארת את המרחב סביב גוף גדול כמו חור שחור.