ממד האוסדורף

ממד האוסדורף הוא הכללה של מושג הממד. זהו מספר ממשי לא שלילי שמקושר למרחב שבו אפשר למדוד מרחקים. פליקס האוסדורף הציג את המושג ב-1918. רבות מהטכניקות לחישובו פותחו על ידי אברהם בסיקוביץ', ולכן לפעמים קוראים לו גם ממד האוסדורף-בסיקוביץ'. לעיתים קוראים לו גם "ממד פרקטלי".

באופן אינטואיטיבי, ממד של קבוצה מציין כמה פרמטרים חייבים לתאר נקודה בה. הממד הטופולוגי הוא מושג שמתאים לרוב לקבוצות פשוטות. הוא תמיד מספר שלם. אבל קבוצות מורכבות, כמו פרקטלים, יכולות להתנהג אחרת. לדוגמה, יש קבוצה שממד האוסדורף שלה הוא ln(3)/ln(2), בקירוב 1.58. קבוצת קנטור דווקא יש לה ממד טופולוגי 0, אבל מבחינה אחרת היא גדולה יותר; כאן ממד האוסדורף מועיל.


הרעיון הבסיסי הוא לבדוק כמה כדורים קטנים צריכים כדי לכסות את הקבוצה. נסמן את מספר הכדורים הדרושים בהינתן רדיוס r ב-N(r). אם כשה-r קטן N(r) גדל בקצב של 1/r^d, אז אומרים שלקבוצה יש ממד d. זהו רעיון אינטואיטיבי שמקשר בין גודל הכיסוי ל"ממד" של הקבוצה.


נניח שיש מרחב מטרי (מרחב עם מדידת מרחק). את הקוטר של קבוצה U מגדירים כמרחק המקסימלי בין שתי נקודות בה. נתון חיובי δ, נקרא ד-כיסוי סדרת קבוצות שכל אחת מהן קוטרה קטן מ-δ, וכיסוי כזה תופר את כל הקבוצה.

עבור d גדול או שווה לאפס מגדירים H^d_δ(S) כהערך הנמוך ביותר האפשרי של סכום הקוטר בחזקת d על פני כל δ-כיסויים של S. כשמקטינים את δ נקבל גבול, והוא נקרא המידה החיצונית H^d(S). ממד האוסדורף של S הוא המספר הדק שמבדיל בין הערכים d שבהם H^d(S) הוא חיובי לבין אלה שבהם הוא אפס: זהו החסם התחתון של כל ה-d-ים שעבורם H^d(S)=0.


חישוב ממד האוסדורף קשה בדרך כלל. לפרקטלים בעלי דמיון עצמי (כלומר שמורכבים מעותקים מוקטנים של עצמם) משתמשים לעתים בממד פרקטלי שקל לחשב. עבור פרקטל כזה, אם יש m עותקים שכל אחד מוקטן בגורם r, הממד הוא log(m)/log(r).

לדוגמה, ריבוע רגיל מחלקים אותו לריבועים קטנים בגורם r. מספר העותקים הוא r^2, ולכן הממד הפרקטלי הוא 2, כפי שמצפים. בקבוצת קנטור המתקבלת על ידי הסרת החלק האמצעי מתוך קטע באורך אחד, הממד הוא מספר לא שלם שבין 0 ל-1.

ממד האוסדורף אומר כמה "ממדים" יש לקבוצה. פליקס האוסדורף המציא את הרעיון. גם אברהם בסיקוביץ' עזר לפתח אותו.

ממד רגיל הוא מספר שלם. למשל, למישור יש ממד 2. אבל יש קבוצות מיוחדות שנקראות פרקטלים. פרקטלים נראים דומים לחלקים שלהם. חלק מהפרקטלים יש להם ממד שאינו שלם.


כדי להבין את הממד סופרים כמה כדורים קטנים צריכים לכסות את הקבוצה. אם כשהכדורים קטנים מספרם גדל מהר מאוד, אז הממד גדול יותר.


מרחב מטרי הוא מרחב עם מדידה של מרחקים. הקוטר של קבוצה הוא המרחק הגדול ביותר בין שתי נקודות בה.

חושבים על כל כיסוי של הקבוצה בקבוצות קטנות. סוכמים את גדלי הקבוצות בחזקה d. אם לכל כיסוי הערך הזה קטן, אומרים שהממד קטן מ-d.


לפרקטלים שיש בהם עותקים קטנים של עצמם יש נוסחה פשוטה. אם יש m עותקים וכל אחד מוקטן בגורם r, הממד הוא יחס של לוגים: log(m) חלקי log(r).

ריבוע רגיל יש לו ממד 2.

קבוצת קנטור נוצרת על ידי הסרת חלקים מקטע. הממד שלה לא שלם, והוא בין 0 ל-1.