עקום פאנו

עקום פאנו הוא מסילה רציפה שממלאת שטח דו-ממדי או ממד גבוה יותר. המסילה נוצרה על ידי המתמטיקאי האיטלקי ג'וזפה פאנו ב-1890, והייתה הדוגמה הראשונה לפרקטל, צורה שחוזרת על עצמה ברמות קנה מידה שונות.

מבחינה פורמלית, ז'ורדן הציע ב-1887 להגדיר "מסילה" כהתמונה של פונקציה רציפה המוגדרת על קטע היחידה [0,1]. משמעות הדבר היא שכל נקודה במסילה היא ערך של פונקציה רציפה בזמן t בין 0 ל-1. בשנות ה-80 של המאה ה-19 הראה קנטור שקטע היחידה שווה בעוצמתו לריבוע היחידה. פאנו בנה פונקציה רציפה מהקטע אל הריבוע, שמכסה את כל הנקודות בריבוע, כדי להדגים עובדה זו.

עד פאנו, רוב המסילות שהכירו המתמטיקאים היו חלקות יחסית והיו להן נגזרות כמעט בכל מקום. מסילות כאלה לא יכולות למלא שטח. לכן הדוגמה של פאנו, שהשתמשה ברעיונות של קנטור, התקבלה בהפתעה רבה.

ניתן להרחיב את רעיון פאנו לכל ממד: יש בניות שמכסות קוביות בכל ממד n. אם מתירים להוציא את נקודות הקצה, ניתן גם לכסות את כל המרחב האוקלידי של אותו ממד.

הבנייה של פאנו היא איטרטיבית: בכל שלב בונים קו מפולג (קווים ישרים המחוברים), שמעדן את השלב הקודם. בגבול מתקבלת מסילה רציפה המבקרת בכל נקודות הריבוע. גם אם בכל שלב הסופי הקווים לא חותכים זה את זה, במעבר לגבול החיתוכים מופיעים; מסילה שממלאת שטח חייבת לחתוך את עצמה.

כפרקטל, לעקום פאנו יש ממד טופולוגי 1 (כלומר כמו קו) ומדד האוסדורף (Hausdorff) שווה 2 (כלומר הוא ממלא שטח).

הבנייה של פאנו מבוססת על שתי תכונות מרכזיות של קנטור: ייצוג מספרים כסדרות ספרות, ובניית קבוצת קנטור C. קיימת פונקציה רציפה מ-C אל קטע היחידה [0,1] שמכסה את כל הקטע. בעזרת שתי העתקות כאלה בונים מפה מ-C×C אל הריבוע על ידי הצמדת התוצאות.

מכיוון שקבוצת קנטור הומיאומורפית למרחב רצפי של שתי אפשרויות לכל מקום, ואפשר להתאים סדרות זו לזו, נמצא הומיאומורפיזם g שממפה C ל-C×C. ההרכבה f = H ∘ g היא העתקה רציפה של קבוצת קנטור על כל ריבוע היחידה. את f מרחיבים לפונקציה רציפה על כל קטע היחידה על ידי השלמה ליניארית על הרווחים בקבוצת קנטור, וכך מקבלים את עקום פאנו.

עקום פאנו הוא קו רציף שממלא ריבוע. "רציף" כאן אומר שהקֶו לא קופץ ואין קטעים חסרים.

הקו נבנה על ידי המתמטיקאי ג'וזפה פאנו ב-1890. הוא רצה להראות שמשתמע שקטע של קו יכול להתאים לכל נקודות הריבוע.

הבניית הקו נעשית בשלבים. בכל שלב בונים קויים קצרים ומחברים אותם. בכל שלב הקו נהיה יותר מדויק. בסוף הקו עובר בכל נקודה בריבוע. כדי לעשות זאת, הקו חייב לעיתים לחתוך את עצמו.

פאנו השתמש בקבוצת קנטור. קבוצת קנטור היא קבוצה מיוחדת של נקודות על הקטע. יש מפה רציפה מקבוצת קנטור אל כל הקטע. בעזרת שתי העתקות כאלה בונים מפה אל הריבוע.

לאחר מכן מרחיבים את ההגדרה לשאר נקודות הקטע על ידי מילוי הקפלים בקו בקווים ישרים קצרים. כך מתקבל קו רציף שממלא את כל הריבוע.

מעניין לדעת: מבחינה טכנית הקו דומה לקו פשוט (ממד טופולוגי 1), אבל הוא ממלא שטח ולכן יש לו "ממד מיוחד" שנוטה ל-2.