ממד האוסדורף
ממד האוסדורף אומר כמה "ממדים" יש לקבוצה. פליקס האוסדורף המציא את הרעיון. גם אברהם בסיקוביץ' עזר לפתח אותו. ממד רגיל הוא מספר שלם. למשל, למישור יש ממד 2. אבל יש קבוצות מיוחדות שנקראות פרקטלים. פרקטלים נראים דומים לחלקים שלהם. חלק מהפרקטלים יש להם ממד שאינו שלם. כדי להבין את הממד סופרים כמה כדורים...
פליקס האוסדורף
פליקס האוסדורף נולד ב-1868 בברסלאו. הוא היה מתמטיקאי חשוב. הוא עזר ליצור את הטופולוגיה. טופולוגיה היא חקר צורות ומרחבים בלי מדידות. האוסדורף למד והיה פרופסור בלייפציג, בגרייפסוולד ובבון. הוא כתב ספר גדול על תורת הקבוצות ב-1914. תורת הקבוצות היא חקר אוספים של דברים, שאותם קוראים קבוצות. הוא עבד גם ...
מרחב האוסדורף
מרחב האוסדורף הוא מרחב טופולוגי (קבוצה שבה אומרים אילו קבוצות פתוחות). אם יש שתי נקודות שונות, אפשר למצוא שתי קבוצות פתוחות שונות שלא חופפות. השם בא מהמתמטיקאי פליקס האוסדורף. מרחבים מטריים הם האוסדורף. מרחב מטרי הוא מקום שבו יש מרחק רגיל בין נקודות. הטופולוגיה הקו-סופית על קבוצה אינסופית אינה האוס...
מרחב מטריזבילי
מרחב טופולוגי נקרא מטריזבילי אם אפשר למדוד מרחקים בו. מטריקה היא פונקציה שמודדת מרחק בין נקודות. יש משפט של אוריסון שאומר: אם המרחב יודע להפריד נקודות היטב (T3) ויש לו בסיס מנייה, אז אפשר להגדיר עליו מטריקה. משפט נגאטה, סמירנוב מרחיב את זה. הוא דורש בסיס שמאורגן כאיחוד של אוספים ש"סופיים באופן מקו...
מרחב רגולרי
מרחב רגולרי הוא מרחב טופולוגי. מרחב טופולוגי הוא קבוצת נקודות עם רעיון של סביבות. הוא רגולרי אם כל פעם שיש נקודה מחוץ לקבוצה סגורה, אפשר למצוא שתי סביבות פתוחות שלא נוגעות זו בזו. סגורה, כלומר היא כוללת את הגבול שלה. אם בנוסף כל נקודה היא סגורה, קוראים למרחב T3. עוד דרך להגיד זאת: אם נקודה בתוך ק...
תבנית:טופולוגיה
יש רשימת סוגי מרחבים: T1, T2 (מרחב האוסדורף), T2.5, T3, T4 ועוד. מרחב האוסדורף הוא שם לסוג מרחב. עוד מילים חשובות: קומפקטיפיקציה (שיטה לשנות מרחב), קומפקטיפיקציה חד‑נקודתית וקומפקטיפיקציה של סטון‑צ'ך. גם מדברים על השלמה. בעוד ענפים יש חשבון אינפיניטסימלי (שמתעסק בשינוי), משוואות דיפרנציאליות, אנלי...
מרחב מטרי
מרחב מטרי הוא קבוצה שיש עליה דרך למדוד מרחקים. הדרך הזאת נקראת מטריקה. מטריקה אומרת כמה שתי נקודות קרובות או רחוקות. הישר הוא דוגמה פשוטה: המרחק בין מספרים מוכר לכולנו. גם המישור או המרחב סביבנו הם דוגמה. על כדור אפשר למדוד מרחק על ידי הקשת הקצרה שמחברת שתי נקודות. אפשר גם להגדיר מטריקה פשוטה: מרחק...
פונקציית אוריסון
פונקציית אוריסון היא פונקציה מיוחדת שמפרידה שתי קבוצות. פונקציה היא חוק שנותן מספר לכל נקודה. פונקציה רציפה לא קופצת; היא משתנה בהדרגה. אם שתי קבוצות אינן חולקות נקודות, אפשר למצוא פונקציה שנותנת 0 לכל הנקודות של הקבוצה הראשונה ו-1 לכל הנקודות של השנייה. הלמה של אוריסון אומרת שבחלק מהמקומות במתמטי...
ממד (מתמטיקה)
ממד אומר כמה דרכים אפשר לזוז או כמה דברים צריך לתאר מקום. נקודה היא אפס‑ממדית. קו הוא חד‑ממדי. מישור ומעגל הם דו‑ממדיים. קובייה וכדור הם תלת‑ממדיים. במרחב וקטורי הממד אומר כמה מספרים (קואורדינטות) צריך כדי לתאר נקודה. בסיס הוא קבוצה של כיוונים שמהם בונים את כל הנקודות. יריעה (כמו סדין או חבל) מק...
הלמה של צורן
הלמה של צורן היא כללי עזר במתמטיקה. היא עוזרת להוכיח שקיים משהו, גם כשלא בונים אותו במפורש. הרעיון המרכזי פשוט: יש קבוצה עם יחס שמסדר חלק מהאיברים. שרשרת היא קבוצה שבה כל שני איברים כן אפשר להשוות. אם כל שרשרת מקבלת "חסם מלעיל" (איבר שהוא גדול או שווה לכל האיברים בשרשרת), אז יש בקבוצה איבר שמעליו...
פרקטל
פרקטל הוא צורה עם חלקים קטנים שחוזרים על עצמם. כשמגדילים פרקטל רואים עוד פרטים דומים לצורה הגדולה. דוגמה פשוטה היא משולש שרפינסקי. מתחילים במשולש ומורידים את המשולש באמצע. אחר כך עושים את זה שוב בכל משולש קטן. כך נשארים הרבה משולשים דומים. פתית השלג של קוך מתחיל מקו. בכל שלב מחליפים את חלקו האמצעי...
מרחב רגולרי לחלוטין
מרחב רגולרי לחלוטין הוא מקום שבו אפשר להפריד נקודה מקבוצה סגורה. קבוצה סגורה היא קבוצה הכוללת את הגבול שלה. ההפרדה נעשית בעזרת פונקציה רציפה. פונקציה רציפה זה דבר שלא קופץ. היא נותנת את המספר 0 לכל נקודות הקבוצה ואת המספר 1 לנקודה שמחוץ לה. מרחב טיכונוף הוא מרחב כזה שבו כל נקודה היא גם קבוצה סגורה...
פתית השלג של קוך
פתית השלג של קוך היא צורה שחוזרת על עצמה שוב ושוב. המתמטיקאי הלגה פון קוך הציג אותה בשנת 1904. אם מתחילים ממשולש שווה־צלעות ומבצעים את אותה פעולה פעמיים ושלוש שוב ושוב, יוצאת צורה שדומה לפתית שלג. הצורה נקראת גם עקומת קוך או אי של קוך. קארל ויירשטראס דיבר על עקומות דומות כבר ב־1872. הוא הראה שאפי...