מנוע הפרשים

מנוע ההפרשים הוא מחשבון מכני ספרתי מיוחד. הוא מתוכנן לחשב ערכים של פולינום (ביטוי מתמטי שמורכב מחזקות של משתנה) בנקודות ברצף, כשההפרש בין הנקודות קבוע. בכך אפשר לבנות לוחות מתמטיים כמו לוחות לוגריתמים וחזקות ולוחות טריגונומטריים (ערכים של פונקציות של זוויות). במצבים ללא מחשבים אלקטרוניים, לוחות כאלה היו חיוניים לניווט והנדסה.

בתחומי הנדסה וניווט נדרשים ערכים של פונקציות טריגונומטריות (חישובים הקשורים לזוויות). לפני הופעת המחשבים, ערכים אלה הוכנו בלוחות מודפסים. חישוב הלוחות נעשה ידנית, והדפסתם גרמה לשגיאות נוספות. כדי לצמצם טעויות, השתמשו בשיטות כמו חישוב כפול על ידי שני אנשים והשוואת התוצאות. למרות זאת נשארו שגיאות, ולוחות קיבלו דפי תיקון (errata), מה שהקשה על השימוש.

הצורך בלוחות מדויקים היה דחוף במיוחד במאה ה-19 עבור צי בריטי גדול. שגיאות בחישובים יכלו לגרום לטעויות ניווט חמורות. לכן חיפשו דרכים למכן את חישוב והדפסת הלוחות כדי להפחית שגיאות.

אחת השיטות להכנת לוחות היא קירוב פונקציות בעזרת פולינומים. פונקציות אנליטיות (פונקציות שניתן להרחיב לטור חזקות) ניתנות לייצוג בעזרת טורי חזקות כמו טור טיילור. חיתוך הטור לאחר מספר סופי של איברים יוצר פולינום שמקרב את הפונקציה. לכן חישוב ערכי הפונקציה קטן לבעיה של חישוב ערכי פולינום בנקודות רבות.

מנוע ההפרשים מנצל תכונה של פולינומים: ערכו של פולינום בנקודה X0 + δ ניתן לקבל מחיבור של סדרת פולינומים בעלי דרגות נמוכות יותר בנקודה X0. למעשה בונים סדרה של פולינומים (ההפרשים) שממעלה יורדת עד לפולינום ממעלה 1. אם מחשבים קודם את ערכי כל פולינומים אלו בנקודת ההתחלה, אפשר "להצעיד" את המנוע ולחשב את הערכים בנקודות הבאות רק בעזרת חיבורי מספרים ואחסון תוצאות ביניים.

כך ניתן לייצר טבלאות של ערכים במהירות יחסית וביעילות מכנית. מכונות חישוב לחיבור היו מוכרות כבר מהמאות הקודמות, ולכן הרעיון ליישם מנגנון שחוזר על חיבורים בלבד היה מעשי.

לשגיאה שתי סיבות עיקריות. הראשונה: הפולינום הוא קירוב של הפונקציה, ולכן תמיד יש טעות תאורטית שניתן להעריך ולחסום. השניה: ייצוג מספרים במחיר של ספרות סופיות גורם לשגיאות עיגול. כשמבצעים חיבורי רבים, שגיאות עיגול מצטברות. כדי למנוע זאת, המנוע יכול לעבוד ברזולוציה גבוהה יותר מהתוצאה המודפסת. כך מחשבים עם הרבה ספרות פנימיות, ומודפסים פחות ספרות, עד שהשגיאה המצטברת נשארת מחוץ לטווח המדוייק של הלוח.

בעשייה מעשית אפשר לקבוע פולינום ומספר ספרות פנימיות כך שהשגיאה המקסימלית תהיה קטנה מההפרש המזערי בין ערכים מודפסים.

ההצעה הידועה ביותר למנוע הפרשים ניסח צ'ארלס בבג' ב-1822. המטרה הייתה למכן גם חישוב וגם הכנת לוחות לדפוס, וכך להפחית שגיאות חישוב ושגיאות דפוס. הממשלה הבריטית מימנה פרויקט גדול, ובבג' שכר את המכונאי ג'וזף קלמנט לבניית חלקים. עבודת הבנייה נמשכה אך נתקלה בקשיים, וב-1831 חילוקי דעות בין בבג' לקלמנט עצרו את הפרויקט. אם היה נבנה, המנוע היה מכיל אלפי חלקים ושוקל טונות.

בבג' המשיך לתכנן גרסה משופרת שנקראה "מנוע הפרשים מספר 2", שהייתה פשוטה יותר מבחינה מכנית. הפרויקט לא מומן שוב, והמדינה עצרה את המימון. רק ב-1989 מוזיאון המדע בלונדון בנה העתק של מנוע הפרשים מספר 2, תוך שימוש בחומרים ומידת דיוק שהיו זמינים ב-1850. בניית הדגם הושלמה ב-1991, והדפוס הושלם ב-2000. בכך הוכח טכנית שניתן היה לבנות את המכונה כבר במאה ה-19.

חשוב לא לבלבל בין מנוע ההפרשים, שמחשב ערכים קבועים וממוכן, ובין המנוע האנליטי של בבג', תכנון מורכב יותר שתכנן תוכניות והיה רעיון מקדים למחשב המודרני.

המהנדס השוודי פר גאורג שוץ תכנן ובנה סדרת מנועי הפרשים החל בשנות ה-1830. דגמים שלו הוצגו בתערוכות, אך לא תמיד הצליחו לייצר לוחות מלאים. מרטין ויברג שיפר את התכנון, וב-1875 מכונתו יכלה ליצור לוחות מתמטיים בשיטה יעילה יותר. מכונת ויברג הייתה קטנה יותר, וגודלה דומה למכונת תפירה. כיום אחת המכונות מוצגת במוזיאון השוודי למדע ולטכנולוגיה.

מנוע ההפרשים היא מכונה חכמה שעושה חישובים בלי חשמל. היא מחשבת ערכים של פולינום. פולינום זה סוג של ביטוי מתמטי עם חזקות של x.
המכונה עובדת על ידי חיבור חוזר של מספרים.

לפני שהיו מחשבים חשמליים, אנשים הדפיסו לוחות עם ערכים למתמטיקה ולניווט. טעויות בחישוב או בדפוס גרמו לבעיות. מנוע ההפרשים עזר לעשות את הלוחות פחות טעונים שגיאות.

מחשבים ידניים מצאו שאפשר לחשב ערכים חדשים מחיבור ערכים קודמים. מנוע ההפרשים שומר ערכים ביניים ומחשב קדימה בצעדים קבועים. כך במקום לחשב כל ערך מחדש, המכשיר עושה חיבורים פשוטים.

גם מכונות יכולות לטעות. חלק מהטעות נובע מכך שהפולינום הוא רק קירוב. חלק נובע מעיגול של מספרים. כדי להקטין טעויות מחשבים במכונה בדיוק גבוה יותר מאשר מה שמודפס.

במאה ה-19 צ'ארלס בבג' תכנן מנוע כזה. הוא התחיל פרויקט גדול, אך לא סיים לבנותו. מאוחר יותר בנו מהנדסים אחרים דגמים. השוודי פר גאורג שוץ בנה כמה מכונות. מרטין ויברג שיפר את העיצוב, והמכונה שלו יכלה להדפיס לוחות. כיום אפשר לראות מכונות כאלה במוזיאונים.