מספר טבעי

במתמטיקה, המספרים הטבעיים הם 0, 1, 2, 3, …, ויש שמגדירים אותם מ‑1 במקום מ‑0. לפעמים משתמשים בשתי ההגדרות לפי הצורך. נהוג לסמן את קבוצת המספרים הטבעיים ב־\mathbb{N}.

המספרים הטבעיים הם הקלים ביותר להבנה. הם משמשים לספירה ולחישוב, ותכונותיהם נחקרות בתורת המספרים. מספרים טבעיים יכולים להיות זוגיים (מתחלקים ב‑2 ללא שארית) או אי‑זוגיים (אינם מתחלקים ב‑2).

הקבוצה היא אינסופית ובת‑מנייה. כלומר, אפשר למנות אותם ברצף ואין להם סוף; העוצמה המסומנת שלהם היא aleph_0.


הרעיון של מספר טבעי מתחיל מספירה: למשל שלושה אנשים או שלושה תפוחים. פרגה הציע לתאר מספרים על ידי אוספי קבוצות, אך גישה זו מובילה לפרדוקסים כמו פרדוקס קנטור. אקסיומות פאנו (Peano) נותנות דרך רשמית להגדיר את המספרים הטבעיים.

פון נוימן הציע בנייה בתוך תורת הקבוצות: 0 מוכל כקבוצה הריקה, וכל מספר n מוגדר כקבוצת המספרים הקטנים ממנו, כלומר n={0,1,...,n−1}. לדוגמה 4={0,1,2,3}.


מגדירים יחס סדר כך ש‑n>m אם קיים k>0 עם n=m+k. היחס הזה הוא סדר כולל: לכל שני מספרים בדיוק אחד מתקיים, n>m, m>n או n=m. עוד תכונה חשובה היא שהיחס הוא «טוב» או משל סדר היטב: כל תת‑קבוצה לא ריקה של טבעיים מכילה איבר מינימלי. הרעיון בפשטות: מתחת לכל גבול יש רק מספר סופי של מספרים, לכן קיימת הקטנה ביותר.


מספר ראשוני הוא מספר טבעי גדול מ‑1 שלא ניתן לבטא כמכפלת שני מספרים טבעיים קטנים ממנו. מספר טבעי גדול מ‑1 שאינו ראשוני נקרא פריק. המספר 1 אינו ראשוני ואינו פריק.

לפי המשפט היסודי של האריתמטיקה כל מספר טבעי גדול מ‑1 מתפרק באופן יחיד כמכפלה של מספרים ראשוניים. לדוגמה, 28 מתפרק ל‑7 ול־2 ול־2.

מספרים טבעיים הם 0, 1, 2, 3, ועוד. יש שמתחילים מ‑1 במקום מאפס.

הם משמשים לספירה. ילדים לומדים אותם ראשון. מספרים יכולים להיות זוגיים. זוגי = מתחלק ב‑2 בלי שארית. יכולים להיות גם אי‑זוגיים.

הקבוצה שלהם אינסופית. אינסוף = אין סוף, לא נגמרים.


רעייון המספר נובע מספירה: שלושה תפוחים, שלושה ילדים. יש כללים רשמיים שנקראים אקסיומות פאנו. זהו סט של חוקים שמגדיר את המספרים.

פון נוימן בנה אותם בתוך תורת הקבוצות כך: 0 הוא קבוצה ריקה. כל מספר הוא הקבוצה של המספרים הקטנים ממנו. לדוגמה 4 הוא הקבוצה שכוללת 0,1,2 ו‑3.


ניתן לומר שאחד יותר גדול מאחר. תמיד אפשר להשוות שני מספרים. אם יש קבוצה של מספרים, יש בה תמיד מספר הכי קטן.


ראשוני = מספר גדול מ‑1 שאי‑אפשר לחלקו לשני מספרים קטנים יותר. פריק = מספר גדול מ‑1 שאפשר לחלקו כך. 1 אינו ראשוני ואינו פריק.

כל מספר גדול מ‑1 אפשר לפרק לראשוניים. למשל 28 מתחלק ל‑7 ול‑2 ול‑2.