סגירות (אלגברה)

באלגברה אומרים שקבוצה היא "סגורה" ביחס לפעולה כאשר הפעלת הפעולה על איברים מהקבוצה תמיד נותנת איבר שגם הוא שייך לאותה קבוצה. פעולה כאן היא חוק שמקבל איברים ומחזיר איבר חדש, כמו חיבור או כפל.

לדוגמה, קבוצת המספרים השלמים החיוביים סגורה תחת חיבור וכפל. כלומר, חיבור או כפל של שני מספרים חיוביים תמיד נותרים חיוביים. לעומת זאת, היא אינה סגורה תחת חיסור וחילוק, כי חיסור עלול להניב מספר שלילי וחילוק עלול להניב שבר.

קבוצת המספרים החיוביים שאינה מוגבלת לשלמים (כל המספרים החיוביים) גם היא סגורה לחיבור ולכפל, והיא סגורה גם לחילוק. אך היא אינה סגורה לחיסור, כמו קבוצת השלמים החיוביים.

אם קבוצה אינה סגורה, אפשר להרחיב אותה כך שתהפוך לסגורה. למשל, חיסור בין מספרים טבעיים (מספרים שלמים לא־שליליים) מוגדר רק חלקית: 7 פחות 3 הוא טבעי, אבל 3 פחות 7 אינו כזה. המעבר לקבוצת המספרים השלמים פותר את הבעיה, כי חיסור של שני שלמים תמיד מוגדר.

המושג "סגירה" משמש גם בהקשרים אחרים. לדוגמה, סיגמא-אלגברה (משפחה של קבוצות) נדרשת להיות סגורה תחת איחוד בן-מניין, כלומר אם יש רשימה של קבוצות מהמשפחה, גם האיחוד שלהן חייב להיות במשפחה.

קבוצה היא אוסף של דברים. היא "סגורה" תחת פעולה כאשר הפעולה שנותנת תמיד דבר מהאוסף.

פעולה היא חוק שעושה משהו לשני איברים ומחזיר איבר חדש. דוגמאות לפעולות: חיבור וכפל.

מספרים שלמים חיוביים סגורים לחיבור ולכפל. זה אומר: חיבור או כפל של שני מספרים חיוביים נותן שוב מספר חיובי. הם לא סגורים לחיסור ולחילוק. לפעמים החיסור יוצא שלילי, והחילוק יוצא שבר.

כל המספרים החיוביים (גם לא שלמים) סגורים לחיבור, כפל וחילוק. הם עדיין לא סגורים לחיסור.

אם קבוצה לא סגורה אפשר להוסיף לה איברים. כך מעבירים את המספרים הטבעיים (0,1,2,...) למספרים שלמים, וכך החיסור עובד תמיד.

גם בהגדרות אחרות יש סגירות. למשל, סיגמא-אלגברה היא אוסף של קבוצות שנסגר גם כאשר מאחדים רשימה של קבוצות ממנו.