מספר טרנסצנדנטי

מספר טרנסצנדנטי הוא מספר שאינו מאפס שום פולינום שמקדמיו רציונליים.
פולינום הוא ביטוי מתמטי כמו ax^2+bx+c, עם חזקות של x ומקדמים שהם שברים שלמים.
דוגמאות בולטות הן π ו‑e. כל מספר טרנסצנדנטי הוא אי‑רציונלי, אך לא כל אי‑רציונלי הוא טרנסצנדנטי. למשל √2 אינו אלגברי כי הוא שורש של x^2-2, ולכן אינו טרנסצנדנטי.
בכמה מקורות נתן למושג גם את השם העברי "מספר נעלה". מספר שאינו טרנסצנדנטי נקרא אלגברי.
גאורג קנטור הראה ב‑1874 ש"כמעט כל" המספרים הם טרנסצנדנטיים: אפשר לספור את המספרים האלגבריים (הם ברי‑ספירה), אבל יש הרבה מאוד יותר מספרים טרנסצנדנטיים.
הוכחת היותו של מספר מסוים טרנסצנדנטי אינה פשוטה היסטורית. ז'וזף ליוביל בנה ב‑1844 דוגמה ראשונה מובנית, קבוע ליוביל:
0.110001000000000000000001000...
בסדרה הזו הספרה במיקום n היא 1 אם n הוא עצרת (n! = 1·2·...·n) ו‑0 אחרת. את החלוקה ל"מספרים שניתנים לקירוב" ול"אלגבריים" השתמש ליוביל כדי להראות שהמספר שלו אינו אלגברי.
שארל הרמיט הוכיח ב‑1873 שהקבוע e הוא טרנסצנדנטי, ופרדיננד לינדמן הוכיח ב‑1882 ש‑π הוא טרנסצנדנטי. מהמסקנה על π נובע שאי‑אפשר לבנות בסרגל ובמחוגה ריבוע ששווה בשטח לעיגול נתון.
הבעיה השביעית של הילברט שאלה האם a^b טרנסצנדנטי, כש‑a אלגברי שונה מ‑0 ו‑1, ו‑b אלגברי אי‑רציונלי. בשנת 1934 הוכיחו אלכסנדר גלפונד ואחר כך שניידר שהתשובה חיובית. התוצאה ידועה כמשפט גלפונד‑שניידר.
שברים n_i/m_i נקראים סדרת קירובים רציונליים של a אם המכנים m_i עולים וההבדל a - n_i/m_i קטן מאוד לפי סדר נתון. משפטי ליוביל אומרים כי מספר אלגברי מדרגה d לא ניתן לקירוב ביותר מדי דיוק (מעל ל‑d). לכן מספר שיש לו קירובים מרמת דיוק בלתי מוגבלת הוא טרנסצנדנטי; מספר כזה נקרא מספר ליוביל.
לרעיונות כלליים על איברים אלגבריים וטרנסצנדנטיים ראו גם את הערך על "איבר אלגברי".

מספר טרנסצנדנטי הוא מספר שלא פותר שום פולינום עם מקדמים רציונליים.
פולינום זה ביטוי כמו ax^2+bx+c עם חזקות של x.
דוגמאות מפורסמות הן π ו‑e. הם אינם ניתנים לבטוי כשבר פשוט.
יש מספרים אי‑רציונליים שאינם טרנסצנדנטיים, למשל √2. הוא פותר את x^2-2=0.
ליוביל היה הראשון שנתן דוגמה ב‑1844. הקבוע שלו הוא:
0.110001000000000000000001000...
בספרות אלה יש 1 במקומות של עצרת (עצרת n היא 1×2×...×n), ובמקומות אחרים יש 0.
ליוביל הראה שהמספר הזה קרוב מאוד לשברים פשוטים ולכן הוא טרנסצנדנטי.
הרמיט הוכיח ש‑e טרנסצנדנטי ב‑1873. לינדמן הוכיח ש‑π טרנסצנדנטי ב‑1882.
ממשיכים לזה: בגלל ש‑π טרנסצנדנטי אי‑אפשר לבנות ריבוע ששווה בשטח לעיגול בעזרת סרגל ומחק.
שאלה חשובה הייתה: אם a ו‑b הם מספרים אלגבריים, כאשר a שונה מ‑0 ו‑1 ו‑b אינו שבר פשוט, האם a^b תמיד טרנסצנדנטי? בשנת 1934 הוכיחו שזאת אכן התשובה.
קירוב רציונלי זה שימוש בשברים כדי להתקרב למספר אמיתי.
מספרי ליוביל אפשר לתקוף בשברים שנכנסים אליו ברמת דיוק מאוד גבוהה.
זו הסיבה שהם טרנסצנדנטיים.
לרעיונות נוספים ראו גם את המונח "איבר אלגברי".