משטח אלגברי
משטח אלגבריי הוא צורה מתמטית עם שני ממדים. יריעה אלגברית, חלק במתמטיקה שמגדירים בעזרת משוואות. אם אין נקודות סינגולריות, נקודות בעייתיות, המשטח חלק. אם עובדים עם מספרים מרוכבים, רואים את המשטח כבעל שתי מידות מרוכבות. אם עובדים עם מספרים ממשיים רגילים, רואים אותו כצורה בעלת ארבע ממדים....
עקום אלגברי
עקום אלגברי הוא צורה במתמטיקה שממד שלה הוא 1. זה אומר שהיא דומה ל"קו" מתמטי. בדרך כלל רוצים שהיא לא תתפרק לחלקים קטנים. עקום שלם הוא עקום מלא וסגור. עקום חלק הוא עקום בלי נקודות בעייתיות. לכל עקום חלק אפשר להוסיף כמה נקודות כדי לקבל עקום שלם. ההשלמה הזאת ייחודית. לכל עקום שלם חלק יש מספר בשם גנוס....
גאומטריה אלגברית
גאומטריה אלגברית היא חיבור בין אלגברה וגאומטריה. זה אומר שבוחנים צורות כמו עקומות ומשטחים וגם את המשוואות שמייצרות אותן. קבוצה אלגברית היא כל הנקודות שמאפסים את אותם פולינומים. לדוגמה, הכדור הוא כל הנקודות שהחיבור של הריבועים של שלושת הקואורדינטות שווה ל־1. אם יש שני פולינומים, נבדוק את הנקודות שב...
יסודות הגאומטריה האלגברית (ספר)
יסודות הגאומטריה האלגברית הוא ספר חשוב של אלכסנדר גרותנדיק. הספר שינה את הדרך שבה מתמטיקאים חושבים על גאומטריה ואלגברה. הספר גדול מאוד. יש בו כ-1500 עמודים. גרותנדיק כתב אותו בצרפתית עם עזרה של ז'אן דיידונה. הוא נפרסם ב־8 חלקים בין 1960 ל־1967 על ידי מכון מחקר בשם Institut des Hautes Études Scienti...
איבר אלגברי
איבר אלגברי הוא איבר שמאפס פולינום. פולינום הוא ביטוי עם חזקות ושלמים כחזקות. אם אין פולינום כזה, קוראים לו טרנסצנדנטי. הגדרה דומה נכונה גם כאשר עובדים בתוך אלגברה על חוג C. אלגברה שכל איבריה אלגבריים נקראת אלגברה אלגברית. "איבר שלם" הוא איבר שמאפס פולינום מתוקן. מתוקן אומר שהמקדמה של הביטוי הגבוה...
קטגוריה:מבנים אלגבריים יחידאים
מבנה אלגברי הוא מערכת עם חוקים לחיבור או לכפל. מבנה יחידאי הוא כזה שיש ממנו רק דוגמה אחת. איזומורפיזם, כשאפשר להתאים איברים וחוקים בין שני מבנים והם נראים זהים. לפעמים מופיעות גם קבוצות קטנות של מבנים כאלה....
סגור אלגברי
הסגור האלגברי של שדה F הוא השדה הכי קטן שמכיל את F וכל השורשים של משוואות עם מקדמים מ־F. "שדה" זה קבוצה של מספרים שעובדת עם חיבור וכפל. "שורש של משוואה" הוא מספר שעושה את המשוואה שווה לאפס. בונים את הסגור על ידי הוספת כל הפתרונות של משוואות שמתקבלות מ־F. הסגור הוא ייחודי: אין עוד אחד שונה שנחשב לקט...
שדה סגור אלגברית
שדה הוא קבוצה של מספרים שעושים חיבור וחילוק. פולינום הוא ביטוי עם x וחזקות. שורש הוא מספר שעושה את הביטוי שווה לאפס. אם בשדה אין שורשים לפולינומים, לפעמים דברים גאומטריים נעלמים. לדוגמה, בקבוצת השברים הקו y=x לא נחתך במעגל x^2+y^2=1. החיתוך מופיע כשיוסיפו שורשים מתאימים. לכל שדה אפשר לבנות שדה...
מונואיד (מבנה אלגברי)
מונואיד הוא קבוצה עם פעולה ושם מיוחד "איבר יחידה". פעולה אסוציאטיבית אומרת שהסדר של חיבור של שלושה איברים לא משנה את התוצאה. האיבר היחידה הוא איבר שמוסיף או מוכפל ולא משנה אחרים. יש הרבה מונואידים, אפילו כאלה עם שישה איברים. יש רק שתי חבורות עם שישה איברים, אבל מונים רבים של מונואידים. איבר נקרא ...
מבנה אלגברי
מבנה אלגברי הוא אוסף של איברים עם חוק או כמה חוקים. אוסף = קבוצה של דברים. חוק = כלל שחיבור או פעולה עושים. החוקים נקראים אקסיומות. אלה כללים שחייבים להתקיים. למדענים זה שימושי כי אפשר לקחת מספרים, כמו שלמים או ממשיים, ולבדוק רק את התכונות החשובות. לפעמים קוראים למבנה בשם של הקבוצה, כמו לקרוא לחבורה...
חוג (מבנה אלגברי)
חוג הוא קבוצה עם שתי פעולות: חיבור וכפל. פעולות אלה עוקבות אחרי כללים פשוטים. אחד הכללים אומר שפיזור עובד: a·(b+c)=a·b+a·c. אם הכפל מחליף סדר, קוראים לחוג "חוג חילופי". דוגמה: המספרים השלמים. מטריצות אינן מחליפות סדר בדרך כלל. איבר יחידה הוא 1 שמכפיל ולא משנה אף איבר. יש חוגים בלי איבר כזה. קוראים ...
אלגברה בוליאנית (מבנה אלגברי)
אלגברה בוליאנית היא קבוצה עם שלוש פעולות: וגם, או, ולא. יש גם שני סימנים מיוחדים: 0 ו-1. אפשר לחשוב על זה כמו על קבוצה של תיבות שמכילות חפצים. הפעולה "וגם" היא החפצים המשותפים. הפעולה "או" היא כל מה שיש בשתי התיבות. "לא" לוקחת את מה שאין בתיבה. אם יש את הקבוצה \{x,y,z\}, כל תת-קבוצה שלה יוצרת אלגבר...
אלגברה (מבנה אלגברי)
אלגברה מעל חוג היא מבנה עם שני דברים עיקריים: חוג A ותת‑חוג C שנמצא במרכז. חוג הוא קבוצה עם חיבור וכפל. "במרכז" פירושו שאיברי C מתחלפים בסדר עם כל איברי A. עוד דרך להגיד את זה: אם C קומוטטיבי (כל זוג איברים מחליף סדר) ו‑A הוא מודול מעל C (מודול דומה למרחב וקטורי), ויש כפל שעובד טוב עם הסקלרים, אז A...
מודול (מבנה אלגברי)
מודול הוא קבוצה עם חיבור, שבה אפשר להכפיל איברים ב'מספרים' שנקראים חוג. חבורה אבלית פירושה שקיים חיבור עם איבר אפס. הכפל במספרים הזה נקרא כפל בסקלר. אם יש פעולה R×M→M שמכפילה כל מספר r באיבר m והתוצאה שומרת על חיבור, אז M הוא מודול מעל R. אפשר להגדיר כפל גם מצד ימין, ואז קוראים לו מודול ימני. מרחב...
חבורה (מבנה אלגברי)
חבורה היא קבוצה עם פעולה שמחברת שני איברים לאחד. הפעולה היא קיבוצית. קיבוצית פירושו שסדר הקיבוצים לא משנה. יש איבר מיוחד שנקרא יחידה. יחידה לא משנה איבר כשמכפילים. לכל איבר יש הופכי. הופכי הוא איבר שמוחק את ההשפעה. אם הפעולה תמיד מחליפה בין איברים, קוראים לחבורה חילופית או קומוטטיבית. תמורות הן ס...
שדה (מבנה אלגברי)
שדה הוא קבוצה של איברים עם חיבור וכפל. אפשר לחסר ולחלק בכל איבר שאינו אפס. (חיסור הוא חיבור עם נגדי, וחלוקה היא כפל בהופכי.) יש שדות של מספרים שאנחנו מכירים: רציונליים, ממשיים ומרוכבים. רציונליים הם שברים. ממשיים כוללים גם מספרים לא־שברים. מרוכבים הם מספרים בצורת a+bi. יש גם שדות קטנים עם מס...
מספר אלגברי
מספר אלגברי הוא מספר שמקיים ביטוי מתמטי שנקרא פולינום. פולינום הוא ביטוי עם חזקות של x. שורש זה מספר שמגרע את הביטוי לאפס. מקדמים רציונליים הם מספרים שאפשר לכתוב כשבר. כל מספר רציונלי הוא אלגברי. יש מספרים שלא אלגבריים. אלה נקראים טרנסצנדנטיים. דוגמאות מפורסמות הן e ו-π. יחס הזהב הוא דוגמה אלגברי...
אלומה קוהרנטית
אלומה היא אוסף של נתונים שמושם על חלקים של מרחב. המידע יכול להיות כמו פונקציות או חתכים. אלומה קוהרנטית היא כזאת שיש לה שתי תכונות פשוטות: 1) מקומית וקצרה: בכל מקום אפשר למצוא כמה חתכים בודדים שיוצרים את כל מה שצריך שם. 2) יציבות של הגרעין: אם נותנים מפה ממבנה חופשי קטן אל האלומה, החלק שכלל נשלח...
חבורת גלואה האבסולוטית
חבורת גלואה האבסולוטית של שדה היא קבוצת כל ההחלפות (סימטריות) של מספרים מרחבה גדולה. הסגור הספרבילי הוא סגור שמכיל את כל ההרחבות שבהן השורשים מסודרים ולא כפולים. בשדות מסוימים זה שווה לסגור האלגברי. החבורה הזו חשובה בלימוד מספרים. קשה לדעת את החבורה הזאת בדיוק. זה קשה גם עבור המספרים ההרציונליים. יש...
ניקולס כץ
ניקולס 'ניק' כץ נולד ב-7 בדצמבר 1943. הוא מתמטיקאי יהודי‑אמריקאי ופרופסור בפרינסטון. הוא עובד בגאומטריה אלגברית. זו חקר צורות בעזרת אלגברה. הוא גם עובד בתבניות מודולריות. אלה פונקציות עם סימטריה. הוא עובד בתורת המספרים. זה חקר של מספרים. נולד בבולטימור. למד בג'ונס הופקינס ובפרינסטון. הפך לפרופסור ב...
מספר חשיב
מספר חשיב הוא מספר שאפשר לחשב בעזרת תוכנה או מחשב מדומה. מכונת טיורינג היא מחשב תיאורטי. היא מוציאה ספרות של המספר אחת אחרי השנייה. אומרים שמספר הוא חשיב אם קיימת מכונה שמקבלת מספר n ומציגה את הספרות עד ה-n. אפשר לתת קירוב אחר: המכונה נותנת שבר שאומר כמה קרוב המספר האמיתי. הרבה מספרים חשובים ה...
הרחבת שדות
שדה הוא קבוצה של מספרים עם חיבור וכפל. הרחבה היא כשיש שדה גדול K שמכיל שדה קטן F. השדה הקטן קוראים לו שדה הבסיס. כותבים את זה K/F. לעתים מוסיפים ל-F מספרים חדשים כדי לקבל K. זה יוצר הרחבה. יוצרים הם מספרים שממנו בונים את כל השדה הגדול. אם אפשר לבנות את כל K מהמספרים ב-F ומהיוצרים, אז הם מספיקים. ...
מספר טרנסצנדנטי
מספר טרנסצנדנטי הוא מספר שלא פותר שום פולינום עם מקדמים רציונליים. פולינום זה ביטוי כמו ax^2+bx+c עם חזקות של x. דוגמאות מפורסמות הן π ו‑e. הם אינם ניתנים לבטוי כשבר פשוט. יש מספרים אי‑רציונליים שאינם טרנסצנדנטיים, למשל √2. הוא פותר את x^2-2=0. ליוביל היה הראשון שנתן דוגמה ב‑1844. הקבוע שלו הוא: 0.1...
פולינום מינימלי
פולינום מינימלי הוא הפולינום הקצר ביותר שמאפס איבר. פולינום הוא סכום של חזקות x עם מספרים כמקדמים. אם שם האיבר בהצבה הופך את הפולינום לאפס, הוא שורש. איבר שיש לו פולינום כזה נקרא אלגברי. אם אין שום פולינום שמאפס אותו, הוא נקרא טרנסצנדנטי. דוגמה: השורש הקובייתי של 2 (המספר שמכפילים אותו שלוש פעמים ...
פולינום מתוקן
פולינום מתוקן זה פולינום שהמספר לפני החזקה הכי גבוהה של x הוא 1. זו המשמעות של "מקדם מוביל". דוגמה: x^2+5x+7 זה מתוקן. 2x^2+10x+14 זה לא מתוקן. שדה הוא קבוצה של מספרים שאפשר לחלק בהם. אם עובדים בשדה, אפשר לחלק את הפולינום במקדם המוביל כדי לקבל פולינום מתוקן. חוג הוא מבנה עם חיבור וכפל. בחוגים לא תמי...
משפט הבסיס של הילברט
משפט הבסיס של הילברט אומר כך: אם בחוג הבסיס אין שרשראות אינסופיות של אידיאלים (תכונה שנקראת נתריות), אז גם בחוג הפולינומים מעליו יש את אותה תכונה. במילים פשוטות: לא צריך אינסוף פולינומים כדי לתאר קבוצות מיוחדות של פולינומים. נניח שהחוג הבסיס כן טוב (נתרי). נניח שלא נכון שזה נכון גם לפולינומים. אז י...
אלכסנדר גרותנדיק
אלכסנדר גרותנדיק (1928, 2014) היה מתמטיקאי גדול. הוא נולד בגרמניה והיה ממוצא יהודי. זכה במדליית פילדס, פרס חשוב מאוד במתמטיקה. כשהנאצים עלו לשלטון הוריו ברחו לצרפת. הוא הופרד מהם קודם לכן. האב נאסר ונרצח על ידי הנאצים. הילד מצא מקום בטוח בעיירה לה שמבון, שעזרה ליהודים ואז הוכרה על כך. לאחר המלחמה...
החבורה הליניארית הכללית
GL_n(F) היא קבוצת כל המטריצות ההפיכות בגודל n על n. מטריצה היא טבלה של מספרים. "הפיכה" אומרת שיש לה מטריצה הופכית. הפעולה היא כפל מטריצות. יש גם מטריצת יחידה שמשמשת כאיבר ניטרלי. אפשר לראות את GL_n(F) גם בתור כל ההעתקות הליניאריות ההפיכות של מרחב וקטורי בממד n. מרחב וקטורי הוא מקום שבו עובדים עם וקט...
אלומה (מתמטיקה)
אלומה היא דרך לשמור מידע מקומי על מקום מתמטי שנקרא מרחב. מרחב הוא רעיון למקום שבו יש נקודות ופתחים. לכל חלק פתוח U נשמור אוסף של דברים שנקראים חתכים. קדם אלומה נותנת לכל חלק פתוח U אוסף ותכונות צמצום. צמצום אומר לקחת את אותו דבר על חלק קטן יותר. אם לכוסיות של החלק הפתוח יש חתכים שמתאימים זו לזו בח...
פונקציה אלמנטרית
פונקציה היא כלל שמקבל מספר ומחזיר מספר. פונקציה אלמנטרית בנויה מפעולות פשוטות. אלה פעולות כמו חיבור, כפל, חילוק והעמדות של פונקציות מוכרות. פונקציות מוכרות כאלה הן אקספוננט (פונקציה שגדלה מהר), לוגריתם (הפוך של אקספוננט) ופונקציות טריגונומטריות (כמו סינוס וקוסינוס). יש דוגמאות: יש ביטויים מסובכים ...
קטגוריה:קבועים מתמטיים
קבוצה של קבועים במתמטיקה. יש 0, 1 ו‑i. חלק אלגבריים, נמצאים במשוואות. השאר טרנסצנדנטיים, לא נמצאים כך. דוגמאות: שורש 2 ויחס הזהב....
תורת המספרים
תורת המספרים חוקרת מספרים טבעיים. יש שאלות פשוטות להציג אבל קשה לפתור. למשל משפט פרמה האחרון נפתר. יש גם השערות פתוחות, כמו גולדבך שאומר שכל מספר זוגי גדול מ-2 הוא סכום של שני ראשוניים. ראשוני, מספר שמתחלק רק ב־1 ובו עצמו. בתחום זה יש כמה חלקים קצרים: - תורת המספרים האלמנטרית בודקת חלוקה ומציאת ...
קטגוריה:תורת המידה
תורת המידה לומדת מדה. מדה היא חוק שמראה כמה גדול משהו. היא בודקת קבוצות, כלומר אוספים של דברים. המידה עוזרת להבין קבוצות מוזרות, למשל קבוצת קנטור....
לאופולד קרונקר
לאופולד קרונקר חי בין 1823 ל-1891. הוא היה מתמטיקאי יהודי-גרמני. הוא למד אצל ארנסט קומר. ב-1845 כתב תזה על שדה המספרים האלגבריים. הסבר קצר: שדה הוא אוסף מספרים שעובדים יחד בחיבור וכפל. אחר כך ניהל שמונה שנים את רכושו של דודו. לאחר מכן חזר למתמטיקה ופרסם תגליות חשובות על משוואות. ב-1883 הפך לפרופ...
המשפט היסודי של האלגברה
המשפט היסודי של האלגברה אומר דבר פשוט: כל פולינום שאינו קבוע חייב להחזיק שורש. פולינום הוא ביטוי עם חזקות של משתנה ומקדמים מספריים. שורש הוא מספר שמכניסים למשתנה וגורם לביטוי להיות אפס. עוד אפשר לומר: לכל מספר מרוכב יש מספר שמכניסים לפולינום ואז מקבלים את המספר הזה. מספר מרוכב הוא מספר שיכול להיות...
שדה המספרים המרוכבים
המספרים המרוכבים הופיעו לפני כמה מאות שנים. קרדאנו השתמש בהם כדי לפתור בעיות. בתחילה אנשים קראו להם "מדומים". מספר מרוכב הוא כמו זוג של שני מספרים רגילים. אחד מהם נקרא החלק הממשי. השני נקרא החלק המדומה. יש גם מספר מיוחד בשם i. כשמכפילים i בעצמו, מקבלים את המספר שליל אחד. כל מספר מרוכב אפשר לראות כ...
סינגולריות (מתמטיקה)
נקודה סינגולרית, נקודה שבה פונקציה מתנהגת מוזר. בדרך כלל הפונקציה לא מוגדרת שם או לא נראית מסודרת. יש שלוש תופעות עיקריות. אפשר להסיר חלק מהבעיות, יש נקודות שבהן הפונקציה הולכת לאינסוף, ויש נקודות שההתנהגות בהן פרועה ביותר. זו נקודה שאפשר לתקן בקלות. מה שעושה בעיה בנקודה נחליף בערך שמתאים, והפונק...
טופולוגיה
טופולוגיה היא ענף במתמטיקה שעוסק בצורות ובאופן שבו הן מחוברות. היא בוחנת מה נשאר כשהצורה נמתחת או מכווצת, אבל לא נחתכת או מודבקת. האיש הראשון שכתב על רעיון טופולוגי היה לאונרד אוילר. הוא הראה ב-1736 שלא אפשר לעבור בכל שבעת גשרי העיר קניגסברג פעם אחת בלי לחזור. אחרי זה מדענים כמו יוהאן ליסטינג ואנר...
ערך עצמי
ערך עצמי הוא מספר שמראה איך העתקה ליניארית משפיעה על וקטור. וקטור הוא חץ שמראה כיוון ואורך. סקלר הוא פשוט מספר. יש העתקה שמחליפה וקטור בווקטור אחר. אם העתקה רק ממתיחה או מכווצת את החץ, בלי לשנות את הכיוון שלו, אז החץ הוא וקטור עצמי. המספר שבו הוא נמתח נקרא ערך עצמי. כל הווקטורים שאותו מספר מיידע א...
דמיון מטריצות
דמיון הוא יחס בין מטריצות ריבועיות בגודל אותו דבר. מטריצה (טבלה של מספרים) נקראת דומה לאחרת אם הן מייצגות את אותה פעולה על וקטורים. וקטור (רשימת מספרים) הוא מה שמקבלים כשמחליפים מקום או גודל. אומרים שמטריצות דומות אם יש דרך להמיר אחת לשנייה בעזרת מטריצה הפיכה. מטריצה הפיכה היא כזו שאפשר "לבטל" אותה...