תורת שטורם-ליוביל
תורת שטורם-ליוביל בוחנת משוואות שבהן מחפשים פתרון שלא שווה אפס. ערך עצמי זהו מספר הקשור לפתרון כזה. פונקציות עצמית הן הפתרונות האלה. משוואת החום מסבירה איך חום זורם בחומר. פותרים אותה על ידי הפרדת משתנים. זה אומר מניחים שהפתרון הוא מכפלת שתי פונקציות. אחת תלויה במרחב ואחת בזמן. בשיטה זו מקבלים ...
משפט ליוביל (אנליזה מרוכבת)
משפט ליוביל אומר: אם פונקציה מיוחדת ניתנת לגזירה בכל מקום ונשארת קטנה תמיד, היא חייבת להיות קבועה. גרסה מוקדמת של המשפט הוכחה על ידי ז'וזף ליוביל ב-1847. ניתן לראות את הנגזרת של הפונקציה כאמצע של הערכים שלה על מעגל סביב נקודה. אם הערכים של הפונקציה לא גדלים בכלל, אז כשהמעגל גדול מאוד הממוצע יתקרב ...
אז'ן שרל קטלן
אוג'ן שרל קטלן (1814, 1894) היה מתמטיקאי ולוני (מבלגיה). הוא יצר את מספרי קטלן. מספרי קטלן עוזרים לספור דרכים לחלק מצולע למשולשים. קטלן נולד בברוז' בשנת 1814. אביו היה צורף בשם ז'וזף. בשנת 1825 נסע לפריז ללמוד באקול פוליטקניק. אקול פוליטקניק הוא בית ספר למתמטיקה. ב-1833 פגש שם את המתמטיקאי ליוביל. ב...
פונקציה שלמה
פונקציה שלמה היא פונקציה שמוגדרת ו"מתאימה" לכל מקום במישור המרוכב (מקום של מספרים עם חלק דמיוני). הולומורפית פירושו שאפשר לחשב לה נגזרת בכל נקודה (נגזרת = קצב שינוי). דוגמאות שאפשר להכיר: פולינומים ופונקציית האקספוננט. גם סינוס וקוסינוס הם דוגמאות, כי הם קשורים לאקספוננט לפי נוסחת אוילר. כל פונקצי...
מספר טרנסצנדנטי
מספר טרנסצנדנטי הוא מספר שלא פותר שום פולינום עם מקדמים רציונליים. פולינום זה ביטוי כמו ax^2+bx+c עם חזקות של x. דוגמאות מפורסמות הן π ו‑e. הם אינם ניתנים לבטוי כשבר פשוט. יש מספרים אי‑רציונליים שאינם טרנסצנדנטיים, למשל √2. הוא פותר את x^2-2=0. ליוביל היה הראשון שנתן דוגמה ב‑1844. הקבוע שלו הוא: 0.1...
נוסחת ההיפוך של מביוס
נוסחת מביוס עוזרת להחזיר פונקציה אחרת שמחוברת אליה על ידי סכומים על מחלקים. מספרים טבעיים הם 1,2,3,... . כותבים a|b כדי לומר ש-a מחלק את b. פונקציית מביוס μ: - μ(1)=1. - μ(n)=0 אם יש מספר ראשוני p כך ש-p^2 מחלק את n. (p^2 זה p כפול p.) - אם n הוא מכפלה של k מספרים ראשוניים שונים, אז μ נותנת 1 או −...
הפרדת משתנים
הפרדת משתנים היא דרך פשוטה לפתור משוואות שיש בהן נגזרות. נגזרת היא קצב שינוי של פונקציה. הרעיון: לסדר את המשוואה כך שכל צד תלוי רק במשתנה אחד. משתמשים בזה כדי לחלק בעיה קשה לשתיים קלות. כל צד מנוהל ונפתר בנפרד, ואז מחברים בחזרה. במשוואות עם הרבה משתנים, מפרידים את הפתרון למכפלה של שתי פונקציות. ...
נוסחת האינטגרל של קושי
נוסחת האינטגרל של קושי אומרת כך: אפשר לדעת מה הפונקציה שווה בפנים של עיגול רק מהערכים על השפה של העיגול. פונקציה שכזו נקראת הולומורפית. זה אומר שאפשר למצוא לה נגזרת במובן מיוחדת למספרים מרוכבים. אם יש עיגול בתוך קבוצה פתוחה והפונקציה הולומורפית בתוכו, אז ערך הפונקציה בכל נקודה בפנים נקבע על ידי האי...
המשפט היסודי של האלגברה
המשפט היסודי של האלגברה אומר דבר פשוט: כל פולינום שאינו קבוע חייב להחזיק שורש. פולינום הוא ביטוי עם חזקות של משתנה ומקדמים מספריים. שורש הוא מספר שמכניסים למשתנה וגורם לביטוי להיות אפס. עוד אפשר לומר: לכל מספר מרוכב יש מספר שמכניסים לפולינום ואז מקבלים את המספר הזה. מספר מרוכב הוא מספר שיכול להיות...