מספר שופע

מספר שופע הוא מספר טבעי שהסכום של המחלקים שלו (בלי המספר עצמו) גדול מהמספר. לדוגמה, 12 מתחלק ב‑1,2,3,4,6 והסכום שלהם הוא 16, כלומר 12 שופע.

בדרגה פורמלית משתמשים בפונקציית σ (סיגמא), סכום כל המחלקים החיוביים של n כולל n עצמו. תנאי לשופעות הוא σ(n)>2n, כי σ(n) כולל גם את n עצמו.

המושג הופיע אצל ניקומאכוס בסביבות המאה ה‑1. ידוע שיש אינסוף מספרים שופעים. אפילו: עבור כל k יש אינסוף מספרים שופעים שמתחלקים ב‑k, וגם אינסוף שמקבילים ל‑k (אין להם גורם משותף איתו).

הרעיון שמסביר זאת קשור לגורמים הראשוניים (מספרים שמתחלקים רק בעצמם וב‑1). יחס σ(n)/n גדול לפחות כמו מכפלה מסוימת על פני ראשוניים שמחלקים את n, ולכן על ידי בחירת מספיק ראשוניים אפשר להגיע לכל יחס רצוי.

בשנת 1998 הראה מארק דלגליש שהצפיפות של המספרים השופעים על המספרים הטבעיים היא בין 0.2474 ל‑0.2480.

מספר שופע שאינו "דמוי משוכלל" (כלומר לא ניתן לחבר תת‑קבוצה של המחלקים כדי לקבל את המספר) נקרא מספר מוזר. שאלה פתוחה ישנה שואלת אם קיים מספר שופע שעבורו σ(n)=2n+1, ושמו קוואזי‑משוכלל. המספר השופע האי‑זוגי הקטן ביותר הוא 945.

מספר שופע הוא מספר שסכום המחלקים שלו, בלי המספר עצמו, גדול ממנו. "מחלקים" הם מספרים שמתחלקים בו בלי שארית.

דוגמה: ל‑12 המחלקים 1,2,3,4,6. סכום זה 16. לכן 12 הוא שופע.

יש הרבה מאוד מספרים שופעים, אף פעם לא נגמרים.

מספר שופע שאי אפשר להרכיב ממנו את המספר בעזרת כמה מחלקים נקרא "מספר מוזר".

יש שאלה פתוחה: האם קיים מספר שאינו משוכלל אבל סכום כל מחלקיו כולל עצמו שווה לפעמיים המספר ועוד אחד? לשאלה הזו קוראים קוואזי‑משוכלל.

המספר השופע האי‑זוגי הקטן ביותר הוא 945.