מספרים חברותיים

מספרים חברותיים הם שרשראות של מספרים שבהן כל מספר שווה לסכום המחלקים שלו (מחלק = מספר שמחלק ללא שארית; כאן נחשב גם 1, ולא נחשב המספר עצמו). השרשרת מסתיימת כשאחרון המספרים מפנה חזרה לראשון. לדוגמה, נמצאו שרשרות ארוכות שנמשכות על פני כמה מספרים רצופים, ואחת מהידועות מכילה בין היתר את 14316 ו-17716.

שרשרות באורך 1 מקבילות למספרים משוכללים (מספר ששווה לסכום מחלקיו). שרשרות באורך 2 נקראות מספרים ידידים או זוגות ידידיים (שני מספרים שכל אחד שווה לסכום מחלקיו של השני). מושגים אלה היו מוכרים כבר ביוון העתיקה.

בשנת 1918 גילה פ. פולה (P. Poulet) בידי חישוב ידני שרשראות שאורכן גדול מ-2, כולל שרשרת מפורסמת באורך 28. מאז משמשים מחשבים לאיתור שרשראות נוספות. כיום לא קיימת נוסחה אנליטית לחיזוי מספרים חברותיים; רוב הגילויים נעשים באמצעות חישוב נומרי.

ישנן שאלות פתוחות מרכזיות: האם קיימות שרשרות בכל אורכים? האם ישנם אינסוף שרשראות עבור אורכים מסוימים? שאלה קשורה עוסקת במספרי מרסן ובקשרם למספרים משוכללים. שאלה נוספת בוחנת את הזוגיות בתוך השרשרת: בכל השרשרות הידועות כל המספרים הם כולם זוגיים או כולם אי-זוגיים. האם יש שרשרת מעורבת, עם מספרים זוגיים ולא־זוגיים יחדיו?

מספרים חברותיים הם קבוצות של מספרים. כל מספר בקבוצה שווה לסכום המספרים שמחלקים אותו בלי שארית. מחלק זה אומר מספר שמתחלק בדיוק.

השרשרת מסתיימת כשאחרון המספרים חוזר לראשון. אם השרשרת כוללת רק מספר אחד, קוראים לו מספר משוכלל. אם יש שני מספרים שמתחלפים זה עם זה, קוראים להם מספרים ידידים. אלה היו ידועים כבר ביוון העתיקה.

בשנת 1918 גילו שרשראות ארוכות יותר בעבודה ידנית. היום מחפשים שרשראות כאלה בעזרת מחשבים. עדיין לא מצאו כלל שמנבא מתי יש שרשרת.

יש שאלות שעדיין פתוחות: האם יש שרשראות בכל אורך? האם שרשרת יכולה להכיל גם מספרים זוגיים וגם אי־זוגיים? אלה דברים שמדענים ויותר צעירים חוקרים עד היום.