מרחב קשיר

קשירוּת היא תכונה של מרחב טופולוגי שמבחינה בין מרחבים שהם "חתיכה אחת" לבין מרחבים שניתן לחלקם למרכיבים נפרדים.

פירוק של מרחב הוא זוג קבוצות פתוחות זרות שאיחודן הוא כל המרחב. פירוק שבו אחת הקבוצות ריקה נקרא פירוק טריוויאלי. מרחב נקרא מרחב קשיר אם הפירוק היחיד שלו הוא הטריוויאלי. כלומר, אי אפשר לכתוב את המרחב כאיחוד של שתי קבוצות פתוחות בלתי־ריקות וזרות.

דוגמאות לקשירים: המספרים הממשיים, קטע סגור כגון [0,1], המישור וריבוע במישור. דוגמאות לא קשירים: קו ממשי שמוציאים ממנו נקודה (מחולק לשתי קומפוננטות), ואיחוד של [0,1] ו־[2,3]. קבוצת המספרים הרציונליים וקבוצת קנטור אינן קשירות.

מכיוון שהמשלים של קבוצה פתוחה הוא סגור, אפשר להגדיר קשירות גם בעזרת קבוצות סגורות: מרחב קשיר אם אין פירוק לאיחוד של שתי קבוצה סגורות זרות ולא־ריקות. שקול לזה: אין תת־קבוצה שאינה ריקה או המרחב כולו שהיא גם פתוחה וגם סגורה (קבוצה שכזו נקראת סגוחה).

ערך הביניים: מרחב X הוא קשיר אם ולכל פונקציה רציפה f:X→המספרים הממשיים, התמונה f(X) היא קטע בממשיים. ההוכחה מבוססת על בניית פונקציות שמפרידות פתוחות או על שימוש בהפכים של חצאי־הממשיים.

תמונה רציפה של מרחב קשיר היא שוב מרחב קשיר. לכן העתקת מנה של מרחב קשיר היא קשירה. בנוסף, אם כל העתקה רציפה מהמרחב לעצמו חייבת להכיל נקודת שבת, אז המרחב קשיר.

המכפלה הטופולוגית של מרחבים היא קשירה בדיוק כאשר כל אחד מהמרחבים המשתתפים בה הוא קשיר.

הסגור של קבוצה קשירה נשאר קשיר. משמעות הדבר היא שהוספת נקודות שנמצאות ב"היקף" הקבוצה לא משבשת את הקשירות. לעומת זאת, הפנים של קבוצה קשירה לא תמיד קשיר. לדוגמה, איחוד של שני עיגולים סגורים שמשיקים הוא קשיר, אבל הפנים (איחוד שני הפנימיים) אינו קשיר.

איחוד של קבוצות קשירות אינו תמיד קשיר. עם זאת, אם לכל שתי קבוצות במשפחה של קבוצות קשירות יש חיתוך שאינו ריק, אז איחוד כלן הוא קשיר (עקרון ה"פרח"). חיתוך של קבוצות קשירות אינו בהכרח קשיר, למשל חיתוך של שני מעגלים שאינם משיקים יכול להיות שתי נקודות.

תת־קבוצה A של מרחב X נקראת קשירה אם היא קשירה בטופולוגיה היחסית. בקשר זה מגדירים קבוצות "מופרדות": שתי קבוצות לא ריקות שקירובן לא חופף אחת לשנייה. A קשירה אם אי־אפשר לכסות אותה על ידי שתי קבוצות מופרדות, אלא אם אחת מהן כבר מכסה את כל A.

הרכיבים הקשירים (הקשירות המקסימליות) מחלקים את המרחב לאיחוד זר של מרכיבים. כל רכיב קשירות הוא קבוצה סגורה. יש גם רכיבי קוואזי־קשירות, שהם מחלקות יחס השקילות "לא ניתנות להפרדה". רכיב קשירות תמיד מוכל ברכיב קוואזי־קשירות. במרחבים מסוימים, כגון מרחב ה־Hausdorff קומפקטי, שני סוגי הרכיבים מתלכדים.

מסילה היא תמונה רציפה של הקטע [0,1]; קצה המסילה הוא נקודה מקצה הקטע. מסילות שאינן חותכות את עצמן נקראות קשתות. שתי נקודות קשורות מסילתית אם יש מסילה שמחברת ביניהן. במרחב שהוא מקומית־קשיר מסילתית וקשיר, נוצרת קשירות מסילתית, כלומר כל שתי נקודות ניתן לחברן במסילה.

יש היררכיה של רכיבים: רכיבי קוואזי־קשירות הם הגדולים ביותר; כל אחד מהם הוא איחוד רכיבי קשירות. רכיבי קשירות הם איחוד רכיבי קשירות מסילתית, שאלה נחלקים לאיחוד רכיבי קשירות קשתית. קיימות דוגמאות שבהן כל סוג רכיב שונה מהשני.

קשירוּת אומרת שמרחב הוא חתיכה אחת שאי־אפשר לחלק לשתי חתיכות פתוחות נפרדות.

פירוק הוא לחלק את המרחב לשתי קבוצות פתוחות שנפרדות. פירוק שבו אחת הקבוצות ריקה נקרא טריוויאלי. מרחב קשיר הוא כזה שאי־אפשר לפרקו כך.

המספרים על הישר הם חתיכה אחת. קטע כמו מ‑0 עד 1 הוא חתיכה אחת. המישור שרוצים עליו מציירים תמונה מלאה הוא גם חתיכה אחת. אבל אם מסירים נקודה מהישר, הוא מתפרק לשני חלקים. גם איחוד של שני קטעים רחוקים זה מזה אינו חתיכה אחת.

תמונה של מרחב קשיר תחת פונקציה רציפה היא שוב חתיכה אחת. הסגור של קבוצה קשירה (הנקודות שמגעות אליה) נשאר קשיר. אך הפנים של קבוצה קשירה לא תמיד קשיר.

איחוד של קבוצות קשירות יכול להיות קשיר אם יש להן נקודה משותפת. אבל חיתוך של קבוצות קשירות לא תמיד יצא חתיכה אחד.

הרכיב הקשיר של נקודה הוא החלק הגדול ביותר שמכיל אותה ושקשיר. הרכיבים אינם חופפים, וכל מרחב מתחלק לאיחוד של רכיבים כאלה.

מסילה היא דרך רציפה מ־התחלה עד סוף, כמו לצייר קו בלי להרים את העט. אם אפשר לחבר שתי נקודות במסילה, הן קשורות מסילתית. במקומות שבהם אפשר תמיד לצייר מסילה קטנה סביב כל נקודה, וחוץ מזה המרחב הוא חתיכה אחת, אז אפשר לחבר כל שתי נקודות במסילה.

מילים חשובות: קשירות, פירוק, מרחב, קטע, רכיב, מסילה.