משוואה דיפרנציאלית רגילה (מד"ר, באנגלית ODE) היא משוואה שבה המשתנה התלוי הוא פונקציה של משתנה יחיד. נגזרת היא קצב השינוי של פונקציה. בניגוד לכך, במשוואה דיפרנציאלית חלקית הפונקציה תלויה ביותר ממשתנה אחד והנגזרות הן נגזרות חלקיות (נגזרת ביחס למשתנה אחד כשאחרים קבועים).
משוואות דיפרנציאליות מתארות קשר בין פונקציה (או פונקציות) לנגזרותיה. לכן הן נפוצות במדעים ובהנדסה: פיזיקה, כימיה, ביולוגיה (למשל התפשטות מחלות), מטאורולוגיה, אקולוגיה וכלכלה. פעמים רבות ניתן לנסח חוק פיזיקלי או תהליך טבעי כמשוואה דיפרנציאלית.
משוואות דיפרנציאליות נבחנות גם כמשוואות בודדות וגם כמערכות של משוואות. אפשר להגדיר את ה"סדר" של משוואה כסדר הנגזרת הגבוה ביותר שמופיע בה. כל משוואה מסדר n ניתנת להצגה כמערכת של n משוואות מסדר ראשון. בין התורמים החשובים לתיאוריה: ניוטון, לייבניץ, ברנולי, ד'אלמבר ואוילר.
דוגמה פשוטה היא חוקו השני של ניוטון, שמקשר את מיקום הגוף x(t) לכוח F באמצעות נגזרת שנייה של x ביחס לזמן: m d^2x/dt^2 = F(x(t)). כאן הפונקציה ה"נעלמת" היא x(t).
בצורה כללית כתובה משוואה מסדר ראשון כ־F(y,y',x)=0. פתרון הוא פונקציה y(x) שמייצרת 0 בהצבה. לדוגמה, y'-2y=0 יש לה פתרון כללי y=A e^{2x}, כאשר A קבוע שנקבע על ידי תנאי התחלה.
בחלק מהמקרים יש שיטות שיטתיות לפתרון. לעיתים הפתרון מוצג כאינטגרל שאותו צריך לחשב. בדרך כלל למשוואה יש משפחה של פתרונות, ולכן נותנים תנאי התחלה כדי לקבל פתרון יחיד. עבור מסדר ראשון יש משפט קיום ויחידות המבטיח פתרון יחיד תחת תנאים רחבים.
משוואה ליניארית מסדר ראשון כתובה y'+h(x)y+g(x)=0. אם g(x) שווה 0 המשוואה נקראת הומוגנית. במשוואה ליניארית הפונקציה ונגזרתה מופיעות בקווים ישרים (לא בתוך פונקציה מורכבת). למשוואות ליניאריות קיימת שיטה קבועה לפתרון.
מקרה פרטי הוא y'+by=c, עם b,c קבועים. הפתרון הוא y=k e^{-bt}+c/b. זוהי דעיכה מעריכית סביב ערך קבוע. דפוסים כאלה מופיעים ברדיואקטיביות, בקירור, בתגובות כימיות מסדר ראשון ובמעגלים חשמליים מסדר ראשון (RC, RL). גם במודלים ביולוגיים כמו לוטקה-וולטרה מופיעים תהליכים דומים.
משוואה ספרבילית ניתנת לכתיבה כך שניתן "להפריד" את x ו־y לצדי המשוואה, למשל M(x) dx = N(y) dy. פתרון מתקבל על ידי אינטגרציה של שני האגפים. זו דרך פרקטית לפתרון רבים מהמקרים.
משוואה מסדר ראשון היא מדויקת אם אפשר לכתוב M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 ו־∂M/∂y = ∂N/∂x. אז יש פונקציה ψ עם ∂ψ/∂x = M ו־∂ψ/∂y = N, והפתרון הוא ψ(x,y)=const.
אם המשוואה אינה מדויקת, ניתן לפעמים לכפול בה בפונקציה μ(x) (גורם אינטגרציה) כך שתהפוך למדויקת. במקרה של y'+p(x)y=r(x) בוחרים μ(x)=exp(∫p(x) dx), וכך מומצאת דרך לאינטגרציה ולקבלת פתרון.
דוגמה: לפתור y'+y=1 מכפילים ב־e^{x} ומקבלים (e^{x}y)'=e^{x}. מזה מתקבל y=1+Ce^{-x}.
משוואה הומוגנית היא כזו שבה f(tx,ty)=f(x,y) לכל t. בעזרת ההחלפה z=y/x אפשר להפוך משוואה כזו לספרבילית.
משוואה מהצורה y'+p(x)y=q(x)y^{n} נקראת משוואת ברנולי. בעזרת ההצבה z=y^{1-n} מקבלים משוואה ליניארית שניתן לפתור.
משוואה מסדר שני מתוארת על ידי F(y,y',y'',x)=0. משוואות ליניאריות הומוגניות מסדר שני נכתבות y''+p(x)y'+q(x)y=0. סכום וכפל בקבוע של פתרונות עדיין פתרון, ולכן קיים בסיס של שני פתרונות בלתי תלויים. כאשר p ו־q קבועים מחפשים פתרונות מהצורה e^{λx}, ו־λ נקבע על ידי פולינום אופייני.
בשורה y''+p(x)y'+q(x)y=r(x) הפתרון הכללי הוא סכום של פתרון כללי של המשוואה ההומוגנית ופתרון פרטי של המשוואה האי-הומוגנית.
באופן כללי משוואה מסדר n ניתנת לייצוג כ־F(x,y,y',…,y^{(n)})=0. משוואה ליניארית מסדר n נכתבת y^{(n)} + a_{n-1}(x) y^{(n-1)} + … + a_0(x) y = b(x). גם כאן ניתן להכליל שיטות מפותרות של סדרים נמוכים.
תנאי התחלה הם ערכים מוחלטים שניתנים לפונקציה או לנגזרותיה בנקודת התחלה, למשל y^{(k)}(x_0)=y_k. משוואה מסדר n דורשת n תנאי התחלה כדי לקבוע פתרון פרטני. מערכת כזו נקראת בעיית התחלה.
המשוואה y-y'=0 נותנת פתרון כללי y(x)=C e^{x}. עם תנאי y(0)=1 נקבל C=1 ולכן y(x)=e^{x}.
משוואה דיפרנציאלית רגילה היא משוואה שבה מופיעה נגזרת. נגזרת היא קצב שינוי. זה אומר כמה משהו משתנה כשהזמן או מספר אחר משתנה.
משוואות כאלה עוזרות לתאר תופעות בטבע. הן מופיעות בפיזיקה, בכימיה, במזג אוויר, בבני חיים ובכלכלה.
דוגמה פשוטה היא חוק ניוטון: כוח מקושר לתנועה של גוף. שם המיקום x תלוי בזמן t.
משוואה מסדר ראשון משתמשת בנגזרת הראשונה. לפעמים פותרים אותה על ידי הפרדת המשתנים. זה אומר שמבודדים חלק עם x וחלק עם y ואז מחשבים.
יש משוואות שהפתרון שלהן הוא "גדילה מעריכית" או "דעיכה מעריכית". זה קורה כשמשהו גדל או קטן בצורה מהירה. דוגמה: חומרים רדיואקטיביים שמתפרקים, או גוף שמתקשר לסביבה.
חלק מהמשוואות נפתרות בקלות כי הן ליניאריות. יש גם משוואות שנקראות מדויקות. בשבילן מחפשים פונקציה ψ שמקיימת תנאים מסוימים, ואז הפתרון הוא ψ(x,y)=קבוע.
יש משוואות עם נגזרת שנייה. כדי למצוא פתרון מסוים צריך שני ערכים התחלתיים. בכלל, משוואה מסדר n דורשת n תנאים התחלתיים.
המשוואה y-y'=0 נפתרת על ידי y=C e^{x}. כאן e^{x} היא פונקציה שמקפיצה את הערך ככל ש־x גדל מהר יותר. אם נותנים y(0)=1 מקבלים y=e^{x}.
תגובות גולשים