משפט אוריסון

בטופולוגיה מרחבים מטריים הם מרכזיים. משפט אוריסון, שנקרא גם משפט המטריזביליזציה, קובע שמרחב טופולוגי המספק שתי תכונות חזקות הוא בעצם מרחב מטרי. שתי התכונות האלה הן: רגולריות (תכונה שמאפשרת להפריד נקודה וסביבה סגורה) ואקסיומת המנייה השנייה (הטופולוגיה ניתנת לבסיס קטן שמונה). באופן כללי יותר מתקבל שמרחב רגולרי עם בסיס בן מנייה הוא מרחב סמי־מטרי (סמי־מטרי = מבנה שמזכיר מטריקה אך עלול לא לבדל נקודות). = הוכחה = = סכמת ההוכחה = 1. מראים שמרחב T3 שמקיים אקסיומת המנייה השנייה הוא גם T4 (נורמלי). 2. מראים שמרחב נורמלי עם בסיס בן מנייה ניתנת לשיכון כמתת־מרחב של ℓ2, מרחב הסדרות הריבוע־חסומות. 3. בונים שיכון הומיאומורפי (הטופולוגיה נשמרת) בעזרת פונקציות אוריסון, ואז מגלים מטריקה מתאימה על X. = בניית השיכון = מכיוון שיש בסיס בן מנייה, מסדרים את איברי הבסיס כ־B1,B2,... . לכל זוג איברי בסיס המתאימים לתנאים של הרגולריות משתמשים בלהמת אוריסון לקבלת פונקציה f_{ij}: X → [0,1]. פונקציות אלה שואפות לערכים 0 ו־1 על חלקים שונים של המרחב, ולכן ניתן לארגן אותן כרצף g1,g2,... . מגדירים עתה את ההעתקה G:X→ℓ2 על ידי G(x) = (g1(x)/1, g2(x)/2, g3(x)/3, ...). חילוק ב־n מבטיח שהרכיבים קטנים דיים, ולכן לכל x מתקבל וקטור ב־ℓ2. זה נובע מהעובדה שסכום הריבועים של 1/n שווה לסכום מתכנס. = בדיקות לגבי G = - G מוגדרת היטב: לכל x הנורמה של G(x) מוגבלת על ידי סכום מתכנס. - G חד־חד־ערכית: אם x≠y אפשר למצוא פונקציות אוריסון שמבחינות ביניהם, ולכן تصاویرיהן שונות. - G רציפה: כל רכיב gk רציפה, ומהרשימה הסופית ניתן לשלוט בהבדל הכולל על ידי חיתוך הזנבות. - G פתוחה יחסית לתמונה שלה, לכן היא הומיאומורפיזם על תמונתה. = השריית המטריקה = על ידי משיכת המטריקה של ℓ2 חזרה ל־X מקבלים d(x,y)=||G(x)-G(y)||_{ℓ2}. זו מטריקה שמייצרת את הטופולוגיה המקורית, ולכן X מטריזבילי. כך הוצגה המטריזביליות על ידי שיכון ל־ℓ2.

משפט אוריסון אומר כך: אם יש לנו מקום טופולוגי עם שתי תכונות חשובות, אפשר להגדיר בו מרחק. התכונות הן פרקטיות: אפשר להפריד נקודות מסוימות, ויש רשימה קטנה של קבוצות שמבנה את המקום. = הוכחה = = סכמת ההוכחה = 1. הופכים את המקום לנורמלי. נורמלי כאן אומר שיכולים להפריד שתי קבוצות סגורות. 2. בונים העתק של המקום בתוך מרחב מיוחד של סדרות מספרים בשם ℓ2. 3. מושכים מרחק מ־ℓ2 חזרה למקום שלנו. זה נותן מרחק ממשי. = בניית השיכון = מכינים רשימת קבוצות קטנה. לכל זוג קבוצות בונים פונקציה שעוזרת להבדיל בין חלקים שונים. מסדרים את כל הפונקציות האלה כסדרה g1,g2,g3,... לכל נקודה x בונים סדרה של מספרים: (g1(x)/1, g2(x)/2, g3(x)/3,...). החלוקה ב־1,2,3 עושה את המספרים קטנים מספיק. לכן הסדרה נכנסת ל־ℓ2. כך כל נקודה מקבלת וקטור ב־ℓ2. = בדיקות לגבי G = - לכל נקודה יש וקטור ב־ℓ2. - שתי נקודות שונות מקבלות וקטורים שונים. - השורות (הרכיבים) משתנות ברצף, לכן ההעתקה רציפה. - בסוף מושכים את המרחק של ℓ2 ומקבלים מרחק על המקום שלנו. = השריית המטריקה = מגדירים מרחק בין שתי נקודות כמרחק בין הווקטורים שלהן ב־ℓ2. זהו מרחק שגורם לאותו מבנה כמו לפני כן. כלומר, המקום הפך למרחב מטרי.