משפט גאוס

משפט גאוס (או משפט הדיברגנץ) קובע שהשטף של שדה וקטורי על פני משטח סגור שווה לאינטגרל של הדיברגנץ של אותו שדה בתוך הנפח שסגור על ידי המשטח. דיברגנץ היא הפעולה המתמטית של נגזרות שמודדת כמה השדה מתפזר נקודתית.

המשפט נקרא על שם קרל פרידריך גאוס, שגילה אותו בשנת 1813. מיכאיל אוסטרוגרדסקי הוכיח את המשפט במלואו ב-1831, ולכן לעיתים קוראים לו משפט גאוס-אוסטרוגרדסקי. למשפט יש שימושים חשובים בפיזיקה, ובמיוחד באלקטרוסטטיקה. משפט סטוקס נחשב להכללה שלו למימד כללי.

יהי V תחום חלקי ב-\mathbb{R}^3, סגור ובעל שפה חלקה למקוטעין. יהי F שדה וקטורי גזיר ברציפות בסביבת V. אזי השטף של F על S = \partial V (הגבול של V) שווה לאינטגרל של \nabla\cdot F על V.

כאן d\mathbf{S} הוא וקטור של גודל אלמנט שטח וכיוון הניצב החוצה למשטח, ולעתים מסמנים אותו \hat n\,dS. \nabla = (\partial/\partial x, \partial/\partial y, \partial/\partial z).

משפט גאוס אומר: כמה שדה יוצא דרך כל המשטח שווה לסכום של ה'יציאות' בתוך הנפח. כאן "שטף" זה כמה שדה עובר דרך משטח. "דיברגנץ" זה כמה השדה יוצא מנקודה.

המשפט נקרא על שם גאוס. גאוס גילה אותו ב-1813. אוסטרוגרדסקי הוכיח אותו ב-1831, ולכן לפעמים קוראים לו גם גאוס‑אוסטרוגרדסקי. אנשים בפיזיקה, ובעיקר באלקטרוסטטיקה, משתמשים בו הרבה.

יהי V אזור בתלת‑ממד עם גבול S = ∂V. אם F הוא שדה וקטורי חלק ורציף סביב V, אז הזרימה של F דרך S שווה לסכום של הדיברגנץ של F בתוך V.

dS הוא אלמנט שטח קטן, וכיוון הווקטור d\mathbf{S} פונה החוצה מהמשטח.