משפט דה מואבר

משפט דה-מואבר קובע את הזהות (cos x + i sin x)^n = cos(nx) + i sin(nx).
כאן cos(x) הוא החלק הממשי של המספר המרוכב cos(x)+i·sin(x), ו-i·sin(x) הוא החלק המדומה (חלק שמכיל את i).
המשמעות היא קישור ישיר בין מספרים מרוכבים וטריגונומטריה. המשפט מקל על העלאת מספרים מרוכבים בחזקה ומציאת שורשיהם. הוא גם מאפשר לבטא ביטויים כמו cos(nx) ו-sin(nx) כפונקציות של cos(x) ו-sin(x). לדוגמה: cos(5x)=16·cos^5(x)-20·cos^3(x)+5·cos(x).
ניתן להוכיח את המשפט באמצעות אינדוקציה, מתוך הזהות של חיבור זוויות: מכפלת cos(x)+i sin(x) ו-cos(y)+i sin(y) נותנת cos(x+y)+i sin(x+y). בנוסף, אפשר לקבל את המשפט בקלות מנוסחת אוילר, כי לפי נוסחה זו (e^{ix})^n = e^{i(nx)}.
אברהם דה-מואבר נתן את הנוסחה על שמו; הוא היה בקשר עם אייזק ניוטון, שידע את הנוסחה מוקדם יותר.
נוסחת דה-מואבר משמשת למציאת שורשי סדר n של מספר מרוכב. אם z שונה מאפס, אפשר לכתוב אותה כ־z = A(cos x + i sin x), כאשר A>0 ו־0≤x<2π.
שורש מסדר n הוא מספר ω = B(cos y + i sin y) שעונה על ω^n = z. לפי דה-מואבר זה שקול ל־B^n=A ול־cos(ny)+i sin(ny)=cos x+i sin x.
מכיוון שקיימת שורש חיובי יחיד ל־A מהסדר n, ולעובדה שטריגונומטריות מחזוריות, השורשים של z הם
ω_k = A^{1/n}\left(cosrac{x+2k\pi}{n}+i\sinrac{x+2k\pi}{n}
ight),
כאשר k=0,1,...,n-1. אלה הן בדיוק n התשובות האפשריות.

משפט דה-מואבר אומר: אם לוקחים (cos x + i sin x) ומעלים בחזקה n, מקבלים cos(nx) + i sin(nx).
כאן cos(x) הוא החלק האמתי של המספר, ו-i·sin(x) הוא החלק המדומה. מספר מרוכב הוא מספר בעל שני חלקים כאלה.
המשפט עוזר לחשב חזקות של מספרים כאלה ולמצוא שורשים שלהם. זה גם עוזר להבין ביטויים כמו cos של מספר כפול.
כדי למצוא את השורשים של מספר מרוכב z כותבים אותו כגודל A וזווית x. הגודל A הוא כמה גדול המספר.
השורשים מסדר n הם מספרים שגודלם הוא השורש ה־n של A. הזוויות שלהם הן הזווית x חלקי n ועוד סיבובים שלמים חלקי n.
יש בדיוק n שורשים שונים, אחד לכל קפיצה של סיבוב מלא מחולק ל־n.