טנגנס

פונקציית הטנגנס, המסומנת tan או tg, קשורה לזוויות במשולש ישר־זווית. היא מוגדרת כיחס בין הניצב שמול הזווית לניצב שלידה. לכן טנגנס של זווית בין 0° ל־90° מוגדר היטב.

טנגנס שווה גם למנה של הסינוס בקוסינוס עבור אותה זווית. כאן סינוס (sin) הוא היחס בין הניצב שמול הזווית לבין היתר, וקוסינוס (cos) הוא היחס בין הניצב שליד הזווית לבין היתר. כלומר tan x = sin x / cos x.

אפשר להרחיב את ההגדרה לכל זווית ממשית בעזרת מעגל היחידה, שבו הרדיוס מסתובב לפי הזווית. הפונקציה אינה מוגדרת כאשר x = π/2 + πk עבור מספר שלם k. הסיבה: בקוסינוס ערכו 0, ולכן מתקבלת חלוקה באפס, ובפרשנות הגיאומטרית הרדיוס מקביל למשיק במקום לחתוך אותו.

לטנגנס יש גם טור חזקות (טור טיילור) סביב 0. צורתו מתחילה כך: tan x = x + (1/3)x^3 + (2/15)x^5 + ... . בקירוב זה מופיעים גם מספרי ברנולי B_n, שהם מקדמים מיוחדים בטורים חזקות.

קוטנגנס מוגדר כcot x = tan(π/2 - x). אבל קיימת הזהות tan(π/2 - x) = 1 / tan x, כך שבמקרים רבים נוח להשתמש פשוט בהופכי של הטנגנס.

יש זהויות מקשרות בין סינוס, קוסינוס וטנגנס. למשל מתקיימות זהויות מקבילות של סכומים וההופכיים של פונקציות אלה. כמו כן מתקיימת הזהות

an x + tan y + tan z = tan x · tan y · tan z

(מופיעה במשוואות מסוימות של זוויות).

ההפוכה של הטנגנס נקראת ארקטנגנס, מסומנת arctan או tan^{-1}. נהוג להגדיר אותה לטווח הערכים (-π/2, π/2). הנגזרת שלה היא d/dx arctan x = 1 / (1 + x^2).

משפט הטנגנסים מקשר בין אורכי שתי צלעות של משולש וזוויות שמולן. אם שתי הצלעות הן a ו‑b והזוויות שמולן הן α ו‑β, אז:

(a-b)/(a+b) = tan[(α-β)/2] / tan[(α+β)/2]

משוואה זו משמשת לניתוח יחסים בין צלעות וזוויות במשולש.

טנגנס היא דרך להשוות שתי צלעות במשולש ישר־זווית. היא לוקחת זווית ומחזירה כמה גדול הניצב שמול הזווית ביחס לניצב שלידה. זה נכון לזוויות בין 0° ל־90°.

אפשר להגדיר טנגנס גם לכל זווית בעזרת מעגל. הטנגנס לא קיים בזוויות של 90° ועוד 180° כל פעם. זאת כי אז נחלק ב־0.

קוטנגנס הוא פונקציה קשורה. אפשר למצוא אותו על ידי החלפה של זוויות, אבל גם אפשר פשוט לקחת את ההופכי של הטנגנס.

הפונקציה ההפוכה לטנגנס נקראת ארקטנגנס. היא מקבלת מספר ומוציאה זווית בין מינוס 90° ל־90°.

קיים משפט שמקשר בין שני אורכי צלעות במשולש לזוויות שמולן. המשפט משתמש בחצי־זוויות כדי להשוות בין ההבדל והסכום של הצלעות.