משפט הבסיס של הילברט

משפט הבסיס של הילברט קובע: אם R הוא חוג נתרי (אין בו שרשרת עולה אינסופית של אידיאלים), אז גם חוג הפולינומים מעל R במשתנים סופיים הוא נתרי. כלומר, אם k שדה, בכל חוג הפולינומים k[x_1,…,x_n] כל אידיאל נוצר על ידי כמה פולינומים בלבד. דויד הילברט הוכיח זאת בשנת 1888.

בגאומטריה אלגברית המשפט אומר שבכל יריעה אלגברית אפשר לתאר אותה כקבוצת אפסים משותפת של מספר סופי של פולינומים. יש גם גרסאות לחוגים לא-קומוטטיביים; שם מחליפים את תכונת הנותריות בתכונות כמו נותריות שמאלית או ימנית. שמשון עמיצור הראה גרסה חשובה לאלגברה החופשית; הרחבות נוספות לחוגי פולינומים מעוותים נעשו על ידי Singh ואחרים.

נניח ש-R הוא חוג נתרי שמאלי, ונניח בשלילה ש-R[x] אינו נתרי שמאלי. אז קיים אידיאל שמאלי I שלא ניתן ליצור אותו במספר סופי של פולינומים. בונים סדרה של פולינומים f_0,f_1,f_2,… כך: בוחרים את f_0
eq0 ב-I עם מעלה (דרגה) מינימלית. לאחר שיש f_0,…,f_{n-1} בוחרים f_n מתוך I שאינו שייך לאידיאל השמאלי שנוצר על ידי הקודמים, ובעל מעלה מינימלית מצב זה.

כך מתקבלת סדרת מעלות שאינה יורדת. נגדיר a_n להיות המקדם המוביל של f_n. האידיאל בשתי R שנוצר על ידי a_0,a_1,… חייב להתייצב בגלל שהבסיס R נתרי. לכן קיים N כך ש-a_N הוא צירוף ליניארי של a_0,…,a_{N-1} עם מקדמים ב-R.

מן הצירוף הזה בונים פולינום g ששווה לצירוף דומה של f_0,…,f_{N-1}. ל-g ול-f_N יש אותה מעלה ואת אותו מקדם מוביל, אך g שייך לאידיאל השמור על ידי f_0,…,f_{N-1}. לכן ההפרש f_N-g שייך ל-I אך אינו שייך לאותו אידיאל קודם, ובעל מעלה קטנה יותר מ-m של f_N. זה סותר את בחירת f_N כמינימלי במעלה. הסתירה מראה ש-R[x] חייב להיות נתרי שמאלי.

משפט הבסיס של הילברט אומר כך: אם בחוג הבסיס אין שרשראות אינסופיות של אידיאלים (תכונה שנקראת נתריות), אז גם בחוג הפולינומים מעליו יש את אותה תכונה. במילים פשוטות: לא צריך אינסוף פולינומים כדי לתאר קבוצות מיוחדות של פולינומים.

נניח שהחוג הבסיס כן טוב (נתרי). נניח שלא נכון שזה נכון גם לפולינומים. אז יש אידיאל I שלא נוצר על ידי מספר סופי של פולינומים. בוחרים פולינומים f0,f1,f2,… בזה אחר זה. כל פעם לוקחים פולינום חדש שלא נוצר מהקודמים ובמעלה הקטנה ביותר.

מכל פולינום לוקחים את המקדם המוביל שלו (המספר מול המעלה הגבוהה). המקדמים האלה יוצרים שרשרת בתוך חוג הבסיס. אבל מכיוון שהחוג הבסיס נתרי, שרשרת זו נעצרת בסוף. זה אומר שאחד המקדמים אפשר לבטא בעזרת המקדמים הקודמים.

בעזרת זה בונים פולינום g שמשתווה במעלה ובמקדמים ל-fN אבל הוא נוצר מהפולינומים הראשונים. אז ההפרש fN-g שייך ל-I אבל יש לו מעלה קטנה יותר. זה סותר את הדרך שבחרנו את fN. לכן ההנחה השגויה נופלת, וחוג הפולינומים חייב להיות נתרי גם הוא.