משפט ההתמדה של סילבסטר

תבנית ריבועית היא פונקציה שבונה מכללים של משתנים בריבועים ובמכפלות שלהם. למשל, f(x,y,z)=4x^2-5y^2+z^2+8xy-2xz. אפשר לייצג תבנית כ־f(v)=v^{T}Av, כאשר A מטריצה סימטרית. מטריצה סימטרית היא מטריצה ששווה להעתקה שלה, כלומר a_{ij}=a_{ji}. החלפה ליניארית של המשתנים שקולה להחלפת A במטריצה חופפה P^{T}AP, כאשר P הפיכה. יחס החפיפה (congruence) מקבץ מטריצות שמייצגות, למעשה, את אותה תבנית.

כל מטריצה סימטרית חופפת תמיד למטריצה אלכסונית. צורה אלכסונית פירושה שאין חצאים מהצורה xy, והניתוח נהיה פשוט יותר. אחרי שדרגנו לצורה אלכסונית אפשר אף לשנות קנה מידה של המשתנים, וכך להמיר כל מקדם (עם ריבוע) ל־+1, -1 או 0. בדרך זו כל תבנית ממשית ניתנת לכתיבה בצורת סכום של квадטים חיוביים ומינוסיים.

משפט סילבסטר קובע שאם f היא תבנית ריבועית ב־n משתנים מעל הממשיים, אז קיימת צורה אלכסונית יחידה, עד לסדר, עם מקדמי האלכסון שווים ל־+1, -1 או 0. כלומר, אפשר לכתוב את f כשילוב של k ריבועים חיוביים ו־s ריבועים שליליים, ואלה לא משתנים תחת החלפות משתנים ליניאריות. המספר k+s הוא דרגת התבנית. ההפרש k-s נקרא סימן סילבסטר של התבנית.

בגאומטריה משוואות ריבועיות מתארות חיתוכים קוניקים וגופים כמו כדור והיפרבולואידים. משפט סילבסטר מאפשר להביא משוואות כאלה לצורות פשוטות באמצעות סיבוב, מתיחה ושיקוף. למשל, במרחב התלת־ממדי כל משוואה הומוגנית מסוג זה ניתנת להביא לצורה אחת מתוך מעט אפשרויות מובחנות כגון x^2+y^2+z^2=1 (כדור), x^2+y^2-z^2=1 (היפרבולואיד חד־יריעתי) או x^2+y^2=1 (גליל).

הרעיון המרכזי בהוכחה הוא להשוות את מספר המקדמים החיוביים בצורות האלכסוניות של שתי מטריצות חופפות. אם יש שתי מטריצות אלכסוניות A ו־A' שחופפות זו לזו, מסדרים את האלכסונים כך שהחיוביים קודם כל. נסמן ב־P את תת־המרחב שבו התבנית היא חיובית, וב־N את התת־המרחב שבו היא לא חיובית. העברת בסיס שמתאימה ל־A' מייצרת תת־מרחב T(N') שמקיים תכונה מולתית ביחס ל־A. באמצעות טיעון על חיתוכים וסכומים ישרים של תת־מרחבים נובע שהממדים חייבים להתאים, ולכן מספר המקדמים החיוביים שווה בשתי הצורות. מכאן נובע גם קביעות הדרגה והסימן של התבנית.

תבנית ריבועית היא פונקציה שבה מופיעים משתנים בריבועים. למשל 4x^2-5y^2+... . אפשר לכתוב אותה בעזרת מטריצה A ווקטור v כ־f(v)=v^TAv. מטריצה היא טבלה של מספרים. אם הטבלה שווה להעתקה שלה קוראים לה מטריצה סימטרית.

שינוי של המשתנים הוא כמו להחליף את המטריצה ב־P^{T}AP. כל מטריצה סימטרית ניתנת לשנות כך שהיא תהיה אלכסונית. אלכסונית משמעותה שיש רק מספרים על האלכסון, בלי מכפלות כמו xy.

החוק אומר: אחרי שמבצעים את כל השינויים אפשר להביא כל תבנית לצורה של כמה ריבועים חיוביים וכמה ריבועים שליליים. המספרים האלה לא משתנים. אלה נותנים שתי תכונות חשובות: דרגה וסימן.

משוואות כאלו מתארות צורות תלת־ממדיות. למשל אפשר לקבל כדור, גליל או היפרבולואיד. בעזרת סיבוב ומתיחה מבדילים בין הצורות לפי מספר הריבועים החיוביים והשליליים.

ההוכחה מסתמכת על חלוקה של המרחב לחלקים שבהם התבנית חיובית ולחלקים שבהם היא לא. משווים ממדים של חלקים אלה לפני ובאחרי השינוי. הממדים חייבים להתאים, ולכן המספרים החיוביים והשליליים נשארים זהים.