משפט היחידות של דיריכלה

משפט היחידות של דיריכלה הוא משפט חשוב בתורת המספרים האלגברית. הוא עוסק באיברים ההפיכים (איבר שיש לו הופכי בכפל) בחוג השלמים של שדה מספרים.

בחוג השלמים של \\mathbb{Z} האיברים ההפיכים הם רק \\{1,-1\\}. בחוג השלמים של האיברים הגאוסיים \\mathbb{Z}[\\sqrt{-1}] הם \\{\\pm 1, \\pm i\\}. אלו חבורות סופיות. בחוג \\mathbb{Z}[\\sqrt{6}] האיברים ההפיכים הם הפתרונות של משוואת פל a^2-6b^2=\\pm 1. הפתרון הקטן הוא a=5, b=2, ולכן כל היחידות הן חזקות של u=5+2\\sqrt{6}, יחד עם סימן. כלומר חבורת ההפיכים איזומורפית ל- \\mathbb{Z}/2\\times \\mathbb{Z}.

אם K הוא שדה מספרים (הרחבה מממד סופי של \\mathbb{Q}), אפשר לספור את השיכונים שלו: r שיכונים ממשיים ו-2s שיכונים בלתי-ממשיים. המימד של K מעל \\mathbb{Q} הוא r+2s. משפט דיריכלה קובע שדרגת חבורת ההפיכים בחוג השלמים של K שווה ל- r+s-1. כך מתקבלת פירוק של חבורת היחידות לשורשי יחידה (חלק סופי) ולחבורה אבלית חופשית מדרגה r+s-1.

מודבקים את קבוצת היחידות באמצעות מפת לוגריתמים ל- V=\\mathbb{R}^r\\times \\mathbb{R}^s. ההעתקה הופכת מכפלה לסכום, והגרעין שלה הוא קבוצת שורשי היחידה (מספרים שורש יחידה). התמונה של היחידות היא סריג (תת-חבורה דיסקרטית) ב-V. עובדה זו מביאה לכך שחבורת היחידות נוצרה סופית ושדרגתה מוגבלת על ידי r+s-1. כדי להראות ששוויון אכן מתקיים משתמשים במשפט מינקובסקי כדי למצוא מספיק איברים ולבנות בסיס לסריג.

יחידות של דיריכלה

קטגוריה: תורת המספרים האלגברית

משפט היחידות של דיריכלה עוזר לדעת מי הם האיברים שיש להם הופכי בכפל. איבר הפיך זה מספר שיש לו מספר אחר שכאשר כופלים אותם מקבלים 1.

במספרים שלם רגילים \\mathbb{Z} ההפיכים הם רק 1 ו-(-1). בחוג של האיברים הגאוסיים \\mathbb{Z}[\\sqrt{-1}] יש גם i ו-(-i). אלה דוגמאות של חבורות סופיות.

בחוג \\mathbb{Z}[\\sqrt{6}] (מספרים a+b\\sqrt{6} עם a,b שלמים) ההפיכים הם הפתרונות של המשוואה a^2-6b^2=\\pm 1. זו משוואת פל. הפתרון הקטן הוא a=5, b=2. אז כל ההפיכים נוצרים מהמספר u=5+2\\sqrt{6}.

שדה מספרים (קבוצת מספרים גדולה יותר שעדיין אפשר לחשב בה חיבור וכפל) יש לה שיכונים. שיכון זה דרך להכניס את השדה למספרים ממשיים או מרוכבים. אם יש r שיכונים ממשיים ו-s זוגות שיכונים מרוכבים, אז מספר הכיוונים האינסופיים של חבורת ההפיכים הוא r+s-1.

לוקחים ערכים מוחלטים ולוגaritם כדי להפוך כפל לחיבור. כך מקבלים נקודות במרחב ממשי. התמונה של כל ההפיכים יוצרת רשת (סריג). הגרעין של ההעתקה הוא שורשי היחידה. בעזרת משפטים גאומטריים מוצאים מספיק איברים להראות שהרשת ממד שלה הוא r+s-1.

יחידות של דיריכלה

קטגוריה: תורת המספרים האלגברית