אם פונקציה ממשית רציפה (רציפה = לא קופצת; הערכים משתנים בה בהדרגה) מקבלת שני ערכים שונים, היא תקבל גם כל ערך שנמצא ביניהם. זוהי אינטואיציה פשוטה: אפשר "לצייר" את העקומה בלי להרים את העיפרון.
התכונה הזו שומשה עוד לפני ההגדרה המדויקת של רציפות. ברנרד בולצאנו ואוגוסטין-לואי קושי הצביעו על החשיבות של הגדרת רציפות כדי לנסח את המשפט בצורה מדויקת.
יהי f פונקציה ממשית רציפה בקטע הסגור [a,b]. אם t הוא מספר בין f(a) ל-f(b), אז קיים c ב-[a,b] כך ש-f(c)=t. במילים אחרות, תמונת הקטע תחת פונקציה רציפה היא קטע.
הוכחה באמצעות חסם עליון: בונים את הקבוצה של הנקודות שבהן f(x)≤t. לקבוצה זו יש חסם עליון. מראים שהערך של f בנקודה הזאת שווה בדיוק ל-t, על ידי שלילה של האפשרויות האחרות.
הוכחה באמצעות חצייה (שיטת הסנדוויץ' / שיטת החצייה): מחלקים את הקטע וחוזרים על החלוקה בבחירת תת־קטע שבו t עדיין בין ערכי הקצה. אורכי הקטעים שואפים לאפס, ולכן נקודת החיתוך המשותפת של כל התת־קטעים היא נקודה c עם f(c)=t, בזכות רציפות הפונקציה.
האמת היא שלא כל פונקציה שמקבלת כל ערך ביניים חייבת להיות רציפה. דוגמה קלאסית היא f(x)=sin(1/x) עם הגדרה f(0)=0, שיכולה למלא ערכים רבים אך אינה רציפה ב-0. יש דוגמות חזקות יותר, כמו פונקציית בסיס 13 של קונוויי.
מרחב טופולוגי X מקיים את תכונת ערך הביניים אם לכל פונקציה רציפה f:X→R תמונת X היא קטע. זו תכונה טופולוגית הנשמרת תחת הומיאומורפיזם. משפט ערך הביניים אומר שכל קטע (interval) הוא מרחב עם התכונה הזו.
קשר לקשירות: מרחב מקיים את תכונת ערך הביניים אם ורק אם הוא קשיר (קשיר = אינו פריק לשתי קבוצות פתוחות נפרדות). בקיצור, תכונת ערך הביניים שקולה לתכונה הטופולוגית של להיות "חתיכה אחת".
אם יש פונקציה שאפשר לצייר בלי להרים את העיפרון (זה נקרא רציפה), והיא נותנת שני מספרים שונים בקצוות, אז היא תיתן גם כל מספר שממוקם ביניהם.
דמיין קו שמתחיל בערך אחד ומסתיים בערך אחר. על הדרך הקו עובר בכל הערכים שביניהם.
דרך אחת: בוחרים את המקום הראשון שבו הערך הופך להיות גדול מהמטרה. במקום הזה מראים שהערך שווה בדיוק למטרה.
דרך אחרת: חוצים את הקטע לחצי שוב ושוב. כל פעם בוחרים את החצי שבו עדיין יש את הערך המבוקש. בסוף מקבלים נקודה שמקיימת את הדרישה.
יש פונקציות שלא רציפות שמקיימות חלק מהתכונות האלו. דוגמה ידועה היא f(x)=sin(1/x) כשמגדירים f(0)=0. היא מתנהגת מוזר ליד 0.
אם המקום עצמו הוא "חתיכה אחת" (אין בו שני חלקים נפרדים), אז כל פונקציה רציפה בו תקבל ערכים ביניים. זאת אומרת, בהיגיון פשוט, אזור אחד גורם לערכים להיות רציפים.
תגובות גולשים