משפט קושי (תורת החבורות)

משפט קושי מציין כי אם G היא חבורה סופית ו-p הוא מספר ראשוני המחלק את סדר החבורה |G|, אז ב-G קיים איבר מסדר p. משמעות "איבר מסדר p": כאשר מכפילים את האיבר בעצמו p פעמים נוחתים באיבר הנייטרלי (הזהות).

למשפט יש שימושים רבים באלגברה. למשל, אם f(x) הוא פולינום אי־פריק ממעלה p מעל שדה מסוים, שדה ההרחבה
שלו יהיה מממד p, ולכן גם שדה הפיצול K של f יהיה מממד שמתחלק ב-p. לפי המשפט היסודי של תורת גלואה, סדר חבורת גלואה של K שווה לממד K, ולכן לפי משפט קושי היא כוללת איבר מסדר p.

משפט קושי ניתן להוכחה בכמה דרכים. בסקירה קצרה נציג שתי שיטות עיקריות.

ראשית מטפלים במקרה של חבורות אבליות (חבורה שבה החלפה של איברים לא משנה את התוצאה). ההוכחה עוברת באינדוקציה על סדר החבורה: אם יש איבר שהסדר שלו מתחלק ב-p אז יש לו חזקה מסדר p; ואם לא, עוברים למנה ביחס לתת־חבורה ציקלית.

להרחבה לכל מקרה כללי מגדירים את ה־מרכז של האיבר x, Z_x = {g בG : gx = xg}, ואת מרכז החבורה Z(G) = {z בG : zg = gz לכל g}. אם x אינו במרכז הכללי אז Z_x לא שווה ל־G, וסדרו מתחלק ב‑p. לפי הנחת האינדוקציה יש ב‑Z_x איבר מסדר p, והוא גם איבר של G.

נבחן את הקבוצה A של וקטורים (g_0,...,g_{p-1}) ב‑G ש־g_0g_1...g_{p-1}=e (e היא הזהות). כל בחירה של g_0,...,g_{p-2} קובעת יחידית את g_{p-1}, לכן |A|=|G|^{p-1} ומתחלקת ב‑p.

פועלת על A פעולה של סיבוב מקומות (הקבוצה הציקלית Z_p). מחלקים את A למחלקות שקילות לפי סיבובים. מאחר ש‑p ראשוני, כל מחלקה אורכה או 1 או p. קיימת מחלקה יחידה באורך 1 - הוקטור (e,...,e). מכיוון ש‑p מחלק את |A|, חייבת להיות לפחות עוד מחלקת אורך 1. מחלקה כזו היא של וקטור (g,...,g) עם g
e e, כלומר g^p=e, וסיפקנו איבר מסדר שמתחלק ב‑p. ניתן לשפר בטיפול קטן כדי להבטיח שהסדר של g הוא בדיוק p.

משפט קושי אומר: אם יש חבורה סופית (קבוצה עם פעולה דמוית כפל) ומספר ראשוני p מחלק את מספר האיברים, אז קיים איבר שאם מכפילים אותו בעצמו p פעמים מקבלים את הזהות. איבר כזה נקרא "מסדר p".

דוגמה חשובה: אם יש פולינום שלא מתפרק שמעלה שלו היא p, אז החבורה שנוצרת כשבודקים את כל השורשים שלה כוללת איבר כזה.

נבנה את כל הרשימות של p איברים שהכפלה שלהם נותנת את הזהות. קוראים לקבוצה הזאת A. כל רשימה ניתן לסובב על חוגה. אם סובבים רשימה מסוימת מקבלים רשימה שקולה לה. כל מחלקת שקילות היא או יחידה או בעלת p פריטים. יש תמיד את הרשימה של הזהות (e,...,e). מכיוון שמספר הרשימות מתחלק ב‑p, חייבת להיות רשימה נוספת שיציבה תחת סיבוב. רשימה כזו היא (g,...,g) עם g לא זהות, ולכן g שכופלה p פעמים נותנת זהות. כך מוצאים איבר מסדר p.