משפט קזוראטי-ויירשטראס

משפט קזוראטי-ויירשטראס שייך לתחום הפונקציות המרוכבות.
השם מגיע מהמתמטיקאים פליצ'ה קזוראטי וקארל ויירשטראס. ברוסיה המשפט נקרא גם על שם יוליאן סוחוצקי.

תהי f פונקציה הולומורפית (פונקציה מרוכבת שניתנת לגזירה בכל נקודה בתחום) בתחום U, פרט לנקודה z0 שהיא נקודת סינגולריות עיקרית (סינגולריות שבה ההתנהגות קשה לתיאור: לא ניתן להסיר אותה ולא מדובר בקטב).
המשפט קובע: לכל סביבה V של z0, התמונות f(V\{z0}) צפופות במישור המרוכב. כלומר, לכל נקודה במישור ולכל כדור קטן סביבה של אותה נקודה, יש ערך של f בתוך אותו כדור.
משפט פיקארד מחזק זאת: תמונת הפונקציה בסביבה נקובה של סינגולריות עיקרית מכסה את כל המישור המרוכב, אולי פרט לנקודה אחת.

ההוכחה נעשית בשלילה. נניח שקיימת סביבה S של z0 כך שהקבוצה f(S) אינה צפופה. אז קיימים a ו־r כך ש־f(S) לא פוגשת כדור פתוח סביב a ברדיוס r.
מכאן מגדירים r(z)=1/(f(z)-a). הפונקציה הזו אנליטית בכל S פרט אולי ל־z0, והיא מחויבת להיות חסומה בסביבה של z0.
לכן z0 היא נקודת סינגולריות סליקה (ניתנת להסרה) של r, ויש לה גבול L.
אם L שונה מאפס אז f שואפת לערך סופי a+1/L. אם L שווה לאפס אז f שואפת לאינסוף. בשני המקרים מתקבלת סתירה בהתחשב בכך ש־z0 היא סינגולריות עיקרית.

משפט קזוראטי-ויירשטראס הוא רעיון במתמטיקה של המספרים המרוכבים.
השם מגיע משני מתמטיקאים חשובים, קזוראטי וויירשטראס. ברוסיה קוראים לו גם על שם סוחוצקי.

קיימת פונקציה מיוחדת f של מספרים מורכבים. היא מתנהגת טוב בכל מקום חוץ מנקודה אחת שנקראת סינגולריות עיקרית.
המשפט אומר: אם מתקרבים לנקודה הזאת, התמונות של הפונקציה עוברות ממש קרוב לכל נקודה במישור המרוכב.
משפט חזק יותר, משפט פיקארד, אומר שפעמים רבות התמונות מכסות את כל המישור, אולי חוץ מנקודה אחת.

למען ההוכחה מניחים שעל איזור מסוים אין ערכים של הפונקציה קרובים לנקודה מסוימת. אז בונים פונקציה חדשה שמשתמשת ב־1 על ההפרש הזה.
הפונקציה החדשה מתנהגת רגיל ליד הנקודה, ולכן יש לה גבול. זה גורם לסתירה כי הנקודה אמורה להיות "בעייתית" מאוד.
אותה סתירה מוכיחה שהניחו לא נכון, ולכן התמונות חייבות להיות צפופות.