פונקציה סתומה
פונקציה סתומה היא משוואה שמקשרת בין x ו-y, ולא פירטה כ-y= משהו. דוגמה ידועה היא המעגל x^2+y^2=1. המשוואה הזו אומרת שמקומות על המעגל מקיימים את הנוסחה. יש שתי אפשרויות ל-y עבור כל x. כדי למצוא איך y משתנה כש-x משתנה, ניתן לגזור את שני צדי המשוואה. למשל במעגל מקבלים 2x + 2y y' = 0 ולכן y' = -x/y. y'...
פונקציה אלמנטרית
פונקציה היא כלל שמקבל מספר ומחזיר מספר. פונקציה אלמנטרית בנויה מפעולות פשוטות. אלה פעולות כמו חיבור, כפל, חילוק והעמדות של פונקציות מוכרות. פונקציות מוכרות כאלה הן אקספוננט (פונקציה שגדלה מהר), לוגריתם (הפוך של אקספוננט) ופונקציות טריגונומטריות (כמו סינוס וקוסינוס). יש דוגמאות: יש ביטויים מסובכים ...
פונקציה חלקה
באנליזה, פונקציה חלקה היא פונקציה שאפשר לגזור שוב ושוב. נגזרת היא כמה מהר הפונקציה משתנה. C^∞ הוא השם לקבוצה של פונקציות כאלה. זה אומר שיש להן כל נגזרת אפשרית. לעתים מספיק לגזור פעמיים או שלוש. אבל משתמשים בפונקציות חלקות כי הן מקלות על העבודה. אפשר לבנות פונקציה חלקה שהיא 1 על קבוצה סגורה, ו־0 מח...
פונקציה עולה
פונקציה עולה: כשה־x גדל, גם הערך גדל. (זה אומר שאם x קטן יותר, f(x) קטן יותר.) פונקציה יורדת: כשה־x גדל, הערך קטן. יש שני אופנים: חזק (ערכים גדלים באמת) וחלש (הערכים לא קטנים). פונקציה קבועה נותנת את אותו ערך תמיד. f(x)=x עולה. f(x)=-x יורדת. f(x)=c קבועה היא גם עולה וגם יורדת בחלש. x^2 לא מונוטו...
פונקציה פרימיטיבית רקורסיבית
פונקציה היא חוק שמקבל מספרים ומחזיר מספר. פונקציה פרימיטיבית רקורסיבית בונים משתי פעולות פשוטות וחוקים שחוזרים על עצמם. הפונקציות הפשוטות הן: אפס (מחזירה 0), העוקב (מוסיף 1), ובחירת רכיב (מחזירה אחד מהמספרים שהכנסת). חיבור של מספרים נוצר כך: אם מוסיפים 1 שוב ושוב מגיעים לתוצאה. לכן חיבור הוא פונ...
פונקציה מציינת
פונקציה מציינת (אינדיקטור) היא כלל פשוט. היא מקבלת רק 0 או 1. 1_A(x)=1 אם x נמצא בתוך A. היא שווה ל־0 אם x לא נמצא ב־A. סימנים אחרים הם χ_A או I_A. הפונקציה מראה אם איבר שייך לקבוצה. לדוגמה, 1_{AΔB} שווה לחיבור 1_A ו־1_B במודולו 2. זה אומר: אם איבר שייך לאחת מהן אך לא לשתיהן התוצאה 1. במקום שבו כל...
פונקציה קבועה
פונקציה קבועה נותנת תמיד את אותו ערך. "תחום" היא קבוצת הקלטים שלה. דוגמה פשוטה: f(x)=1, תמיד מחזירה 1. f(x)=x לא קבועה, כי הערכים משתנים. הפונקציה הריקה היא כזאת שאין לה קלטים. בגלל זאת היא נחשבת קבועה, כי אין נקודות שמראות שינוי. חלק מהאנשים דורשים שהתחום לא יהיה ריק כדי לקרוא לפונקציה קבועה. ...
פונקציה הרמונית
פונקציה הרמונית היא סוג של פונקציה במתמטיקה ובפיזיקה. היא עושה משהו מיוחד: סכום השינויים השניים שלה לפי כל הכיוונים שווה אפס. שינוי שני זה אומר כמה השינוי עצמו משתנה. בממד אחד זה אומר שהפונקציה היא קו ישר. קו ישר הוא פונקציה עם שיפוע וקבוע. בשני ממדים יש חוק דומה עם שני כיוונים. יש פונקציות שעונות ע...
פונקציה ליניארית
פונקציה ליניארית יוצרת קו ישר. היא חוק שמקבל מספר x ומחשב y לפי כפל וחיבור. a הוא השיפוע. השיפוע אומר כמה הישר תלול. b היא נקודת החיתוך. זו הנקודה שבה הקו נוגע בציר ה‑y. אם b=0, הקו עובר בראשית הצירים. הצורה הפשוטה מראה את השיפוע ואת נקודת החיתוך. אם יודעים נקודה ושיפוע אפשר לכתוב את המשוואה. אם...
פונקציה קמורה
פונקציה קמורה היא פונקציה שבה הקו שמחבר שתי נקודות על הגרף נמצא מעל הגרף. גרף זהו הקו שמראה מה הערך של הפונקציה לכל x. אם הקו מעל הגרף לכל שתי נקודות, אז גם ממוצע משוקלל של כמה נקודות עומד תחת אותו כלל. זה שימושי בחשבון ובאי-שוויונות חשובים. קמירות "חלשה" אומרת שהקו לא עובר מתחת לגרף. קמירות "חזקה...
פונקציה קעורה
פונקציה קעורה: כשרושמים גרף של הפונקציה, הקו שמחבר שתי נקודות על הגרף יהיה מתחת לגרף עצמו. זאת אומרת שהעקומה מעוקמת כלפי מטה. תארו שתי נקודות על אותו חלק של הגרף. קו ישר שמחבר אותן נמצא תמיד מתחת או על הגרף. זה מה שמיוחד בפונקציה קעורה. מילים חשובות: "נגזרת" היא השיפוע, כמה הפונקציה עולה או יורדת....
פונקציה רציפה (טופולוגיה)
פונקציה רציפה בטופולוגיה היא חוק שמקשר בין שתי קבוצות של נקודות. טופולוגיה היא דרך להגיד מי קרוב למי בלי לדבר על מרחק. פונקציה היא רציפה אם כל קבוצה פתוחה בטווח לה יש מקור פתוח במקור. מקור פתוח זה קבוצה של נקודות שנשלחות לתוך הקבוצה בטווח. במילים פשוטות: אפשר לבחור סביבת מקור קטנה ש־f שולחת אותה לת...
פונקציה תת-ליניארית
פונקציונל תת-ליניארי הוא כלל שנותן מספר לכל וקטור. וקטור הוא חץ במתמטיקה. חוק ראשון: אם מחברים שני וקטורים, הערך שלהם יחד לא גדול מסכום הערכים שלהם בנפרד. זה נקרא תת-חיבוריות, פירוש: הערך הכולל לא עולה על החיבור. חוק שני: אם כופלים וקטור במספר לא שלילי, הערך מוכפל באותו מספר. זה נקרא הומוגניות חיובי...
פונקציה רציפה במידה שווה
רציפות אומרת: אם נזיז מעט את הקלט, הערך ישתנה מעט. רציפות במידה שווה אומר שיש לכל כמות שינוי אפשרית מרחק אחד בלבד שיעבוד לכל הקטע. זה אומר שהפונקציה לא מתפרצת במקום מסוים. אם הפונקציה רציפה על קטע שסגור וחסום (קטע שיש לו גבולות), אז היא גם רציפה במידה שווה. זה משפט חשוב שנקרא משפט קנטור. תנאי נו...
פונקציה רקורסיבית
פונקציה רקורסיבית היא חוק שמקבל מספרים ומחזיר מספר. "ניתנת לחישוב" פירושו שאפשר לבצע את החוק בצעדים מסודרים, כמו אלגוריתם. פונקציות פרימיטיביות בונים מחוקים פשוטים וחזרה חוזרת. הן תמיד מפיקות תשובה ומסתיימות על כל קלט. הרבה פעולות חשבון יומיומיות הן כאלה. מוסיפים אופרטור בשם μ (מי). אופרטור זה מ...
פונקציה פשוטה
פונקציה פשוטה לוקחת רק כמה ערכים שונים. פונקציה פשוטה בונה מערכים על קבוצות. כל מקטע הוא מספר קבוע על קבוצה. פונקציית מציין היא פונקציה שמקבלת 1 בתוך קבוצה ו־0 מחוץ לה. "מידה" היא כמו גודל של קבוצה. בדרך כלל בוחרים קבוצות שמודדות. אפשר להשתמש בפונקציות פשוטות כדי להתקרב לפונקציות גדולות יותר. האינטג...
פונקציה אריתמטית
פונקציה אריתמטית היא חוק שמקבל מספר טבעי ומחזיר מספר. הרעיון הוא שהערך תלוי בדרך שבה המספר מתחלק. ממוצע של פונקציה עד n הוא סכום הערכים מ-1 עד n חלקי n. לפעמים קל לדעת בקירוב איך הממוצע גדל. אבל קשה לדעת בדיוק כמה הטעות בחישוב. פונקציה כפלית מקיימת f(a·b)=f(a)·f(b) כש-a ו-b זרים. זרים זה אומר שאין ל...
פונקציה יוצרת
פונקציה יוצרת עוזרת לשים סדרת מספרים בתוך ביטוי אחד. כך אפשר לקרוא בקלות את כל המספרים מהביטוי הזה. הפונקציה היוצרת הסטנדרטית בונה סכום שבו כל מספר בסדרה תקבל חלק משלו לפי המיקום שלו. זה שימושי כשחושבים על ספירות או על דרכים לספור דברים. בקומבינטוריקה משתמשים בזה כייצוג פורמלי, גם אם הביטוי לא מתכ...
פונקציה מדידה
פונקציה מדידה היא חוק שמקבל נקודות ונותן להן ערכים. היא עובדת בין שתי קבוצות מיוחדות שנקראות מרחבים מדידים. מרחב מדיד הוא קבוצה עם רשימת תת‑קבוצות מיוחדות שנקראות מדידות. הכלל הבסיסי: אם בוחרים קבוצה של ערכים, כל הנקודות ששולחות ערכים אלה גם צריכות להיות קבוצה מדידה. כשיש מרחב עם פתחים, אפשר להשתמ...
פונקציה חד-כיוונית
פונקציה חד-כיוונית היא פעולה שקלה לעשות קדימה וקשה מאוד לעשות אחורה. פונקציה כאן היא כלל שמקבל משהו ומחזיר משהו אחר. "קל" אומר שמחשב יכול לחשב את זה מהר. "קשה" אומר שרק במקרה נדיר מאוד ניתן למצוא את הקלט מהפלט. אפשר לנסות למצוא את הקלט על ידי בדיקה של כל האפשרויות. זה נקרא כוח גס. זה מצליח אבל לוקח...
פונקציה חלקית
פונקציה חלקית היא חוק שמקשר ערכים משתי קבוצות. לכל מספר כניסה (תחום) יש או אפס או מספר אחד בלבד של פלטים (טווח). המילה "חד־ערכיות" אומרת שיש לכל כניסה לא יותר מפלט אחד. אם לכל כניסה יש בדיוק פלט אחד, קוראים לזה פונקציה שלמה. אם יש כניסה בלי פלט, היא לא שלמה. למשל הפונקציה f(x)=שורש x מ‑R ל‑R לא נות...
פונקציה רציפה (אנליזה)
רציפות אומרת שפונקציה לא "קופצת" במקום. אם כשמתקרבים לנקודה הערכים מתקרבים לאותו ערך, הפונקציה רציפה שם. הגדרה פשוטה: לכל מרחק קטן בין הערכים, אפשר למצוא מרחק קטן בקלט, כך שהערכים יהיו קרובים. עוד דרך להגיד את זה: אם בכל רשימה של מספרים שמתקרבת לנקודה, הערכים של הפונקציה על הרשימה מתקרבים לערך בנקו...
פונקציה מונוטונית
פונקציה מונוטונית היא חוק שמקשר בין שתי קבוצות מסודרות. קבוצה מסודרת = קבוצה שבה יודעים מי לפני מי. עולה: אם a לפני b, אז f(a) לפני f(b). זה שומר על הסדר. לא יורדת: אם a לפני b, אז f(a) לפני או שווה ל‑f(b). כלומר היא לא הופכת את הסדר. יורדת: אם a לפני b, אז f(a) אחרי f(b). כאן הסדר מתהפך. פונקצ...
פונקציה הפיכה
פונקציה הפיכה היא פונקציה שיש לה פונקציה שמחזירה את הכניסה. כלומר, מבצעים פעולה ואז מבצעים את הפעולה ההפוכה. חוזר בדיוק אותו מספר. כדי שתהיה הופכית צריך שתי תכונות. ראשית, כל כניסה שונה נותנת תוצאה שונה. זו תכונה שנקראת חד-חד-ערכיות. שנית, כל תוצאה חייבת להגיע ממשהו בתחום. זו תכונה שנקראת על. אם לא...
פונקציה על
פונקציה על היא פעולה שמגיעה לכל אחד בקבוצה שמקבלים. קבוצה היא אוסף של פריטים. לכל איבר בטווח יש לפחות מקור בתחום. כדאי לדעת: תחום זה המקום שממנו מגיעים הערכים. טווח זה המקום שאליו מפנים את הערכים. דוגמה פשוטה: אם למפה כל אדם לאימו, זה יהיה על אם הטווח הוא רק נשים שיש להן ילדים. אם הטווח הוא כל הנש...
פונקציה חסומה
פונקציה היא חוק שמקבל מספר ומחזיר מספר. פונקציה חסומה אומרת שכל הערכים שלה לא גדולים מדי. זה אומר: יש מספר קבוע שממנו אף ערך לא גדול מאוד. אם כל הערכים של הפונקציה נמצאים בתוך קטע קטן, הפונקציה חסומה. פונקציה חסומה גם אם היא גם חסומה מלמעלה וגם חסומה מלמטה. "חסומה מלמעלה" אומרת שיש גבול עליון שלא ע...
פונקציה מרומורפית
פונקציה מרומורפית טובה בכל מקום חוץ ממספר נקודות בודדות. טובה פה אומרת שהיא חלקה וניתנת לחשבון. בנקודות הבעייתיות היא יכולה "לקפוץ" ולגדול בלי סוף. קפיצה כזו קוראים לה קטב. קטב הוא נקודה שבה הערך לא רגיל. אפשר לכתוב פונקציה מרומורפית כחילוק של שתי פונקציות חלקות. הנקודות שבהן המכנה שווה לאפס הן ...
פונקציה רב-ערכית
פונקציה רב-ערכית (מולטי-פונקציה) נותנת יותר מתשובה אחת לכל קלט. קלט זה נקרא תחום. התשובות נקראות טווח. השם קצת מטעה, כי בדרך כלל פונקציה נותנת תשובה אחת בלבד. אפשר גם לחשוב שפונקציה רב-ערכית מחזירה קבוצה של תשובות. קבוצה היא רשימה של מספרים. השורש הריבועי הוא דוגמה. לכל מספר יש שני שורשים מרוכבים,...
פונקציה חד-חד-ערכית
פונקציה חד-חד-ערכית (חח"ע) היא חוק שמקשר כל דבר בתורו לערך אחר. אין שני דברים שונים שמקבלים את אותו ערך. המילה "תחום" היא הקבוצה של הדברים שמכניסים לפונקציה. "תמונה" היא הקבוצה של התוצאות שהפונקציה נותנת. לפונקציה חח"ע יש פונקציה הפוכה. פונקציה הפוכה מוצאת את הדבר שמיתן תוצאה נתונה. הפונקציה ההפ...
פונקציה שלמה
פונקציה שלמה היא פונקציה שמוגדרת ו"מתאימה" לכל מקום במישור המרוכב (מקום של מספרים עם חלק דמיוני). הולומורפית פירושו שאפשר לחשב לה נגזרת בכל נקודה (נגזרת = קצב שינוי). דוגמאות שאפשר להכיר: פולינומים ופונקציית האקספוננט. גם סינוס וקוסינוס הם דוגמאות, כי הם קשורים לאקספוננט לפי נוסחת אוילר. כל פונקצי...
פונקציה הולומורפית
פונקציה הולומורפית היא פונקציה של מספרים מרוכבים. מספר מרוכב הוא מספר עם שני חלקים:\nחלק ממשי וחלק מדומה. פונקציה הולומורפית ניתנת לגזירה בכל נקודה בסביבה שלה. גזירה כאן אומרת שאפשר לחשב "שיפוע" של הפונקציה במובן מיוחד. עיקרון חשוב: הנגזרת של פונקציה הולומורפית לא תלויה בדרך שבה מתקרבים לנקודה. ז...
פונקציה אנליטית
פונקציה אנליטית היא פונקציה שאפשר לכתוב כסכום של חזקות של x. טור חזקות זה הוא כמו סכום של הרבה מונחים עם x, x^2, x^3 ועוד. אם הסכום הזה עובד בסביבה של נקודה, הפונקציה אנליטית שם. מבחן השורש (בדיקה של טורים) מראה שאפשר לגזור טור חזקות מונח־מונח. לכן פונקציה אנליטית ניתנת לגזירה הרבה פעמים. דוגמה קלה...
פונקציה דיפרנציאבילית
פונקציה היא חוק שמקבל כמה מספרים ומחזיר מספר. דיפרנציאבילית (פירוש: ניתנת לקירוב בקו ישר) משמעה: ליד נקודה אפשר להחליף את הפונקציה בחוק פשוט וקווי. הטעויות שנשארות נהיות קטנות מאוד כשמשנים מעט את הקלט. אם פונקציה דיפרנציאבילית, היא גם רציפה. יש לה נגזרות חלקיות (נגזרות חלקיות = כמה משתנה אחד משת...
פונקציה
פונקציה היא כלל שנותן לכל כניסה תשובה אחת. כניסה מגיעה מתחום (תחום = קבוצת הקלטים). התשובות שייכות לטווח (טווח = קבוצת התשובות). כותבים f: X → Y כדי לומר שפונקציה f מקבוצה X ל־Y. פונקציה היא אוסף של זוגות (x,y). אם (x,y) שייך לאוסף אז f(x)=y. ה־y נקרא תמונה של x. ה־x נקרא מקור של y. הכלל שמקצה ל...
פונקציה ממשית
פונקציה ממשית היא פונקציה שהערכים שלה הם מספרים ממשיים. טווח = הערכים שהפונקציה נותנת. לפעמים גם מבקשים שתחום ההגדרה יהיה כל המספרים הממשיים. אנליזה ממשית היא ענף בחשבון. הוא כולל חשבון דיפרנציאלי וחשבון אינטגרלי. דיפרנציאלי = חישוב שינויים. אינטגרלי = חישוב שטחים. תכונות חשובות: חסימות, הערכים ל...
גבול של פונקציה
״גבול של פונקציה״ הוא הרעיון לאן הערכים של פונקציה שואפים כשהx מתקרב לנקודה. אם פונקציה קרובה לערך מסוים כשהx מתקרב לנקודה, אומרים שהגבול שם הוא אותו ערך. הפונקציה לא חייבת להיות מוגדרת בדיוק באותה נקודה. דוגמה קלה: הפונקציה שווה ל־0 בכל מקום חוץ מ־0. בערך 0 היא שווה ל־1. למרות זאת, הגבול ב־0 הוא ...
שורש (של פונקציה)
שורש של פונקציה הוא מספר x שעבורו הפונקציה נותנת 0. קוראים לזה גם אפס. דוגמה פשוטה: אם f(x)=sin(x) וה-x שווה π, אז f(x)=0. לכן π הוא שורש. כשפונקציה ממשית חותכת את ציר ה-x, זו נקודת שורש. למשל f(x)=x^2-4 חותכת בצירים ב-2 וב- -2. יש דרכים מחשבתיות למצוא שורשים. שיטה אחת קוראים לה חצייה. שיטה שנייה...
גרף של פונקציה
גרף של פונקציה הוא קבוצת נקודות. נקודה היא שני מספרים בסדר מסוים. בציור רגיל יש שני קווים: קו אופקי שנקרא ציר X וקו אנכי שנקרא ציר Y. לכל נקודה יש שני מספרים. המספר הראשון נקרא אבסציסה. זה המספר הראשון. המספר השני נקרא אורדינטה. זה המספר השני. הגרף כולל את כל הזוגות (x,f(x)) כאשר x נמצא בתחום. גרף י...
אוגוסט פרדיננד מביוס
אוגוסט פרדיננד מביוס (17.11.1790 - 26.9.1868) היה מתמטיקאי ואסטרונום גרמני. מביוס נולד ליד אלטנבורג. ב-1813 למד באוניברסיטת לייפציג. ב-1815 קיבל דוקטורט. ב-1816 נעשה פרופסור בלייפציג. הוא עיצב את טבעת מביוס. טבעת מביוס היא רצועה מיוחדת שיש לה רק צד אחד. הוא גם מצא פונקציה שנקראה על שמו. פונקציה הי...
קיומן של פונקציות מרומורפיות על משטח רימן קומפקטי
משטח רימן הוא משטח שבו עובדים עם מספרים מורכבים. מחפשים פונקציות מיוחדות שנקראות מרומורפיות. מרומורפית היא פונקציה שהיא חלקה רוב הזמן. היא יכולה "להתנהג חזק" בכמה נקודות בודדות. נקודה כזו קוראים לה קוטב. יש משפט בשם רימן־רוך שמראה רעיון פשוט: בעזרת נתון על מבנה המשטח אפשר למצוא פונקציה שאינה קבועה....
משפט רימן-רוך
משפט רימן־רוך עוזר לחשב כמה פונקציות מיוחדות יש על משטח רימן. משטח רימן (שטח מיוחד שבו מדברים על פונקציות חלקות) הוא המקום שבו עובדים. מחלק (divisor) הוא רשימה קצרה של נקודות עם מספרים ליד כל נקודה. הדרגה של המחלק היא סכום המספרים. L(D) הוא אוסף של פונקציות מרומורפיות. פונקציה מרומורפית (פונקציה ש...
פולינומי הרמיט
פולינומי הרמיט הם סדרה של ביטויים במשתנה x. כל ביטוי כזה נקרא פולינום. הם חשובים בפיזיקה ובמתמטיקה. מה זה פולינום? פולינום הוא חיבור של חזקות של x עם מספרים כמקשרים. למשל H_0=1 ו-H_1=2x. איך בונים אותם? את H_n מכינים על ידי פעולה של מדידה מיוחדת (נגזרת) על פונקציה עם e^{-x^2}. נגזרת זו מודדת שינוי...
העתקת מביוס
מביוס היא פעולה על מספרים מורכבים שעושה כך: לוקחים a כפול z ועוד b, ואז מחלקים ב־(c כפול z ועוד d). המקדמים a,b,c,d הם מספרים מיוחדים כך ש‑ad-bc לא שווה אפס. השם נלקח מהמתמטיקאי מביוס. הפעולה פועלת על המישור יחד עם נקודה מיוחדת שנקראת אינסוף. אפשר לדמיין את זה ככדור ששמים עליו את המישור בעזרת הטלה ...
פונקציות זוגיות ואי-זוגיות
המילה "זוגית" הופיעה אצל אוילר ב-1727. "אי-זוגית" הופיעה ב-1814. הגדרה קצרה: פונקציה זוגית נותנת את אותו ערך ל-x ול-(-x). הסימטריה: הגרף שלה שווה משמאל ומימין של ציר ה-Y. דוגמאות פשוטות: x^2, הקוסינוס, והערך המוחלט |x|. (ערך מוחלט = המספר בלי הסימן.) הגדרה קצרה: פונקציה אי-זוגית נותנת ערכים עם סימ...
מכניקה אנליטית
מכניקה אנליטית היא דרך לכתוב חוקים של תנועה. היא הומצאה לפני הרבה שנים על ידי מדענים כמו לגראנז' והמילטון. ניוטון אמר שכוחות גורמים לגופים להשתנות במהירות. מאוחר יותר מצאו חוקי שימור חשובים, כמו אנרגיה ותנע. נמצא גם רעיון שנקרא עקרון הפעולה: הדרך שבה משהו נע מקיימת כלל מיוחד. לגראנז' המציא דרך ...
אי-שוויון המשולש האינטגרלי
יש כלל שאומר: האינטגרל של פונקציה לא גדול מהאינטגרל של הערך המוחלט שלה. אינטגרל זה כמו סכום מתמשך. ערך מוחלט של מספר הוא הגודל שלו בלי סימן. אם אפשר לחשב אינטגרל של f על קטע [a,b], אז האינטגרל של f קטן או שווה לאינטגרל של |f|. לכל נקודה x יש -|f(x)| ≤ f(x) ≤ |f(x)|. אם מסכמים את זה על כל הקטע, ס...
פונקציונליזם
פונקציונליזם (תיפקודנות) אומר שהחברה בנויה מחלקים שעוזרים זה לזה. מוסד חברתי (דוגמה: משפחה, בית ספר) הוא חלק כזה שנועד למלא צרכים. יש שלושה רעיונות עיקריים: 1. החברה היא מערכת, חלקים שעובדים יחד. 2. לחברה יש תפקידים שצריך כדי להמשיך להתקיים. 3. תופעה ממשיכה כי היא ממלאת תפקיד חשוב. חוקרים חשובים ...
שיטות נומריות לחישוב אינטגרלים מסוימים
חלק מהאינטגרלים אי אפשר לפתור בדיוק. אז מחשבים קירובים מספריים. אינטגרל = השטח מתחת לגרף של פונקציה. פונקציה = חוק שמקבל מספר ומחזיר מספר. מחליקים את הקטע לחלקים קטנים. בכל חלק מודדים את גובה הפונקציה. מכפילים את הגובה ברוחב החתיכה ומוסיפים. ככל שיש יותר חלקים, התוצאה מתקרבת יותר לאמת. שיטת הטרפז ...
כלל הסנדוויץ'
כלל הסנדוויץ' אומר: אם משהו לכוד בין שני דברים שיש להם אותו ערך, גם הוא מקבל את אותו הערך. (גבול = הערך שאליו משהו מתקרב.) נניח שיש שתי סדרות שמתקרבות לאותו ערך L. אחרי מקום מסוים הן קרובות ל-L מאוד. אם סדרה שלישית תמיד ביניהן, גם היא חייבת להיות קרובה ל-L. לכן היא מתקרבת ל-L גם כן. קחו a_n = שור...
חלוקת יחידה
חלוקת יחידה היא קבוצה של פונקציות שמקבלות ערכים לא שליליים. בכל נקודה סכום הערכים של כל הפונקציות הוא 1. כל פונקציה לא שווה אפס רק במקום קטן. המקום שבו הפונקציה לא אפס נקרא תמיכה. תמיכה היא הסגירה של המקום הזה, כלומר גם הגבול שלו כלול. קומפקטית אומרת "קבוצה קטנה וסגורה". אם מכסים את המרחב בקבוצות פ...