משפט ליוביל (אנליזה מרוכבת)

משפט ליוביל אומר: כל פונקציה הולומורפית בכל המישור המרוכב (כלומר ניתן לגזור אותה בכל נקודה) וחסומה (ערכה המוחלט לא עובר ערך מקסימלי ידוע) חייבת להיות פונקציה קבועה.

גרסה מוקדמת של המשפט הוכחה לראשונה על ידי ז'וזף ליוביל ב-1847. המשפט המלא הוכח על ידי אוגוסטן לואי קושי.

ההוכחה משתמשת בנוסחת האינטגרל של קושי. לפי הנוסחה, הנגזרת של פונקציה הולומורפית בנקודה ניתנת כאינטגרל סגור על מעגל שמקיף את הנקודה. מאחר שהפונקציה חסומה, הערך המוחלט שלה לא עולה על מספר M נתון. על המעגל המרחק מהנקודה שווה לרדיוס R, ולכן ניתן להעריך את הערך המוחלט של האינטגרל על ידי ביטוי הפרופורציוני ל-M חלקי R.

אם מגדילים את רדיוס המעגל R עד אינסוף, הביטוי M חלקי R שואף לאפס. מכאן שגבול הערך המוחלט של הנגזרת הוא אפס, ולכן הנגזרת שווה אפס בכל נקודה. נגזרת אפס בכל מקום פירושה שהפונקציה קבועה.

אם גדילת הפונקציה נשלטת על ידי חזקת רדיוס בעבור גדלים גדולים של הרדיוס, כלומר קיימים מספרים C ו-a כך שמדידת הגדילה של הפונקציה אינה עולה על C כפול רדיוס בחזקה a, אז הפונקציה היא פולינום ממעלה השווה לחלק השלם של a. משפט ליוביל הוא המקרה המיוחד שבו a שווה אפס.

משפט ליוביל אומר: אם פונקציה מיוחדת ניתנת לגזירה בכל מקום ונשארת קטנה תמיד,
היא חייבת להיות קבועה.

גרסה מוקדמת של המשפט הוכחה על ידי ז'וזף ליוביל ב-1847.

ניתן לראות את הנגזרת של הפונקציה כאמצע של הערכים שלה על מעגל סביב נקודה.
אם הערכים של הפונקציה לא גדלים בכלל,
אז כשהמעגל גדול מאוד הממוצע יתקרב לאפס.
אז הנגזרת היא אפס בכל מקום.
אם הנגזרת אפס, הפונקציה קבועה.

אם הפונקציה גדלה לאט מאוד לפי חוק של חזקה,
אז היא בעצם פולינום. כלומר סכום של חזקות של המשתנה.
המקרה שבו היא לא גדלה כלל מושך חזרה למשפט ליוביל.