משפט רימן-רוך

בגאומטריה אלגברית ובאנליזה מרוכבת, משפט רימן, רוך הוא כלי מרכזי לחישוב המימד של מרחבים של פונקציות מרומורפיות עם אפסים וקטבים על משטחי רימן קומפקטיים. פונקציה מרומורפית היא פונקציה שיכולה להיות הולומורפית (חלקה) כמעט בכל מקום, ורק בקוראים ספורים היא יכולה לקבל קוטב.

המשפט נבנה מהוכחות היסטוריות: רימן הראה טענה חלשה יותר שנקראת אי שוויון רימן, וגוסטב רוך הוכיח את הצורה המלאה בשנות ה-50 של המאה ה-19. מאז הוחלו הכללות לעקומים וליריעות אלגבריות גבוהות מימד.

נניח ש־X הוא משטח רימן קומפקטי. משטח רימן הוא משטח דו־ממדי שבו אפשר לדבר על פונקציות אנליטיות באופן גלובלי. נתון גם מחלק D על X. מחלק (divisor) הוא סכום סופי של נקודות עם מקדמים שלמים. הדרגה של D היא הסכום של המקדמים.

ניתן להשוות שני מחלקים D1 ו־D2 לפי המקדמים שלהם. כותבים D1 ≤ D2 אם בכל נקודה מקדם ב־D1 קטן או שווה למקדם המתאים ב־D2. זו דרך פשוטה להבין מתי מחלק אחד "חזק" יותר מאחר.

נסמן ב־M(X) את שדה הפונקציות המרומורפיות על X. נגדיר
L(D) = {f במשתנה של M(X) כך ש־(f) ≥ −D} ∪ {0}.
כאן (f) הוא המחלק שמייצג האפסים והקטבים של f. כלומר, L(D) כולל את כל הפונקציות שאינן גרועות יותר מהמגבלות שהציב D.

לדוגמה, אם D = 3·y − 4·z, אז ל־f שמצויה ב־L(D) מותר קוטב בסדר לכל היותר 3 ב־y. ב־z חייבת להיות אפסיות בסדר לפחות 4. בנקודות אחרות f חייבת להיות הולומורפית.

באופן כללי, עבור נקודה x:
- אם D(x)=0 אז f הולומורפית ב־x.
- אם D(x)=n>0 אז מותר קוטב מסדר ≤ n.
- אם D(x)=−n אז חייב להיות אפס מסדר ≥ n.

L(D) הוא מרחב וקטורי ממימד סופי. משפט רימן, רוך נותן ביטוי למימד זה.

אי שוויון רימן נותן חסם תחתון פשוט:
dim L(D) ≥ deg D − g + 1
כאשר g הוא הגנוס (genus), מספר טבעי שמאפיין את צורת המשטח.

הצורה המלאה של משפט רימן, רוך היא:
dim L(D) = dim H^1(X, O_D) + 1 − g + deg D
כאן H^1(X, O_D) היא קוהומולוגיית צ'ך הראשונה של האלומה O_D. קוהומולוגיה היא כלי שמודד מכשולים לחיבור מידע מקומי למידע גלובלי.

נגדיר אלומה O_D שמקשרת בין התנאים המקומיים ל־L(D). עבור קבוצה פתוחה U ⊂ X מגדירים
O_D(U) = {f במרחב הפונקציות המרומורפיות על U כך שלכל x ב־U מתקיים (f)(x) ≥ −D(x)}.
האלומה כוללת פונקציות שמקיימות את המגבלות של D בכל נקודה מקומית. הצמצומים בין קבוצות פתוחות הם פשוטים, והאקסיומות של אלומה מתקיימות כי התכונה מוגדרת מקומית.

משפט רימן־רוך עוזר לחשב כמה פונקציות מיוחדות יש על משטח רימן. משטח רימן (שטח מיוחד שבו מדברים על פונקציות חלקות) הוא המקום שבו עובדים.

מחלק (divisor) הוא רשימה קצרה של נקודות עם מספרים ליד כל נקודה. הדרגה של המחלק היא סכום המספרים.

L(D) הוא אוסף של פונקציות מרומורפיות. פונקציה מרומורפית (פונקציה שמותר לה לעשות קפיצה מסוימת במקום אחד) יכולה להיות חלקה ברוב המקומות.
L(D) מכיל רק את הפונקציות שעומדות במגבלות שהמחלק D קובע.

כותבים D1 ≤ D2 אם בכל נקודה המקדם של D1 קטן או שווה לזה של D2. זה אומר ש־D2 "חזק" יותר.

יש נוסחה שמקשרת בין מספר הפונקציות לדרגה של המחלק ולגנוס של המשטח. גנוס (מספר טבעי שמספר חורים במשטח) משפיע על התוצאה.
יש גם אי שוויון פשוט: מספר הפונקציות לפחות שווה לדרגה מינוס גנוס ועוד אחד.

אלומה (sheaf, אוסף פונקציות מקומיות) אומרת באילו פתחים של המשטח מותר להיות לפונקציות. בפתיחה U האלומה נותנת את כל הפונקציות שמקיימות את המגבלות של D ב־U. זה עוזר לחבר מידע מקומי למידע על כל המשטח.