מרחב מנה (אלגברה ליניארית)

באלגברה ליניארית, מרחב מנה של מרחב וקטורי V שמתקבל מתת־מרחב W הוא מרחב שנוצר על ידי "דחיסת" כל הוקטורים של W לאפס. המונח הוצג על ידי פאול הלמוס בשנת 1947.

יהי V מרחב וקטורי מעל שדה F, ויהי W תת־מרחב שלו. מגדירים יחס שקילות כך: v שווה ל‑u בדיוק כאשר v‑u שייך ל‑W. מחלקת השקילות של וקטור v היא הקבוצה של כל הוקטורים ששווים לו לפי יחס זה, ומסמנים אותה ב‑[v]. הקבוצת כל מחלקות השקילות מסומנת V/W.

ניתן להראות שאם v1 שווה ל‑v2 ו‑u1 שווה ל‑u2 אז v1+u1 שווה ל‑v2+u2. וגם אם v שווה ל‑u אז עבור כל סקלר λ גם λv שווה ל‑λu. התכונות הללו מאפשרות להגדיר חיבור ומכפלה בסקלר על מחלקות השקילות על ידי חיבור ומכפלה של נציגים: [v]+[u]=[v+u] ו‑λ·[v]=[λv]. ההגדרות האלו בעזרת נציגים אינן תלויות בבחירה שלהם, ולכן V/W נהיה מרחב וקטורי מעל F.

הקו‑ממד של W בתוך V מוגדר להיות הממד של V/W. אם V מממד סופי, אז ממד(V/W) שווה לממד(V) פחות מממד(W).

מרחב מנה נוצר כש"מְקבצים" חלק מהוקטורים של מרחב V וקוראים להם W. את כל הוקטורים שב‑W עושים כאילו הם האפס.

אומרים ש‑v ו‑u שייכים לאותה קבוצה אם ההפרש שלהם נמצא ב‑W. את הקבוצה של כל הוקטורים האלה קוראים מחלקת שקילות ומסמינים אותה ב‑[v].

מוסיפים שתי מחלקות על ידי הוספת נציגים שלהן. ככה גם מכפילים בסקלר. זה עובד גם אם בחרו נציגים שונים.

קו־הממד אומר כמה יותר גדול V מאשר W. אם למרחב יש מספר סופי של ממדים, הקו־ממד שווה לממד של V פחות מממד של W.