משפט שטולץ

בחשבון אינפיניטסימלי, משפט שטולץ (או משפט שטולץ-צ'זארו) מקשר בין גבולות של סדרות לבין גבולות של סכומים של טורים.

יהיו {x_n} סדרה כלשהי ו-{y_n} סדרה מונוטונית עולה ממש, כלומר כל איבר גדול מקודמו והסדרה שואפת לאינסוף. (גבול, המספר שאליו סדרה מתקרבת כשהאינדקס גדל.)
אם הגבול L = lim_{n→∞} (x_{n+1}-x_n)/(y_{n+1}-y_n) קיים וסופי, אז גם lim_{n→∞} x_n/y_n קיים ושווה ל-L. כלומר, אם יחס ההפרשים מתייצב ל-L, גם היחס x_n/y_n מתייצב לאותו L.

הרעיון המרכזי בהוכחה הוא שימוש באיבר חיובי של y_n ובהצבה של אי־שוויון לגבי ההפרשים. בוחרים ε>0 ואז N כך שהיחס (x_{n+1}-x_n)/(y_{n+1}-y_n) קרוב ל-L לכל n>N. מכפילים את האי־שוויון ב-y_{n+1}-y_n (חיובי), וסוכמים את האי־שוויונות מטווח N+1 עד k. הסכימה היא סכום טלסקופי שמקשרת בין x_{k+1}-x_{N+1} לבין y_{k+1}-y_{N+1}. מחלקים ב-y_{k+1} וממשיכים במניפולציות של אי־שוויון כדי להראות ש-x_{k+1}/y_{k+1} קרוב ל-L, כאשר k גדול דיו. כך מתקבל שהיחס x_n/y_n מתכנס ל-L.

1) נקבע x_n = sum_{k=1}^n ((k+1)/k)^k ו־y_n = n. כאן y_n עולה לשאיפת אינסוף. ההפרש (x_{n+1}-x_n)/(y_{n+1}-y_n) שווה ל((n+2)/(n+1))^{n+1} = (1+1/(n+1))^{n+1}, שלגביו ידוע שהוא מתקרב ל-e. לכן לפי משפט שטולץ גם x_n/n מתקרב ל-e.

2) נקבע x_n = sum_{k=1}^n e^{k-1} a_k ו־y_n = e^n. אז ההפרש שווה ל e^n a_{n+1} / (e^n (e-1)) = a_{n+1}/(e-1). מאחר שמחלק קבוע זה מוביל לגבול, לפי המשפט נובע שהיחס x_n/y_n מתכנס ל-e/(e-1) (כפי שמוצג בטקסט).

משפט שטולץ שימושי להחלפת בעיית חישוב גבול של יחס x_n/y_n בבעיה של גבול יחס ההפרשים, ולעתים מקל על חישוב גבולות של סדרות וטורים.

משפט שטולץ אומר כך: אם לשתי סדרות יש את אותם הפרשים בסוף, אז גם היחס ביניהן מתאים לאותו מספר.
(סדרה = רשימה ארוכה של מספרים לפי סדר. גבול = המספר שאליו הסדרה מתקרבת.)

מוכיחים זאת כך: בוחרים מרחק קטן ε. בוחרים מקום ברשימה שבו כל ההפרשים כבר קרובים למספר L. מסכמים את ההפרשים האלה. הסכום נותן יחס בין סכומי האיברים ל-y_n. כשהולכים רחוק יותר, היחס מתקרב ל-L.

1) קחו x_n שהוא סכום של ביטויים כמו ((k+1)/k)^k, ו־y_n = n. ההפרש בין איברי x_n מתקרב למספר e. לכן x_n חלקי n מתקרב גם הוא ל-e.

2) קחו x_n שהוא סכום של e^{k-1} פעמים a_k, ו־y_n = e^n. ההפרש במקרה הזה הופך ל־a_{n+1}/(e-1). לפי המשפט היחס x_n/e^n מתקרב ל-e/(e-1).

משפט זה עוזר לחשב גבולות של סדרות וסכומים.