נוסחאות ויאטה

נוסחאות ויאטה מקשרות בין מקדמי פולינומים לבין שורשיהם. שדה סגור אלגברית, כמו שדה המספרים המרוכבים, הוא מקום שבו לכל פולינום יש שורשים.

אם נתון פולינום p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0 עם שורשים x_1,…,x_n (כולל ריבוי), אז סכומי המכפלות הסימטריות של השורשים שווים למקדם המתאים חלקי a_n, עם סימן חילופין. כלומר, סכום כל השורשים הוא -a_{n-1}/a_n, והמכפלה של כולם היא (-1)^n a_0/a_n. בכלליות, הסכום של כל המוצרים האפשריים של k שורשים הוא ±a_{n-k}/a_n, כשהן משתנות לפי k.

בדוגמה החשובה של ממעלה שנייה p(x)=ax^2+bx+c מקבלים: x_1+x_2=-b/a ו- x_1x_2=c/a. אלה עוזרות לפתור משוואות ולהבין איך המקדמים קשורים לשורשים.

עבור מטריצות, הערכים העצמיים שלהן הם שורשי הפולינום האופייני שלהן. לכן לפי ויאטה סכום הערכים העצמיים שווה {
}tr(A) (עקבה), והמכפלה שווה det(A) (דטרמיננטה). זאת מכיוון שהמקדם החופשי בפולינום האופייני הוא הדטרמיננטה, המקדם של החזקה המקסימלית הוא 1, ומקדם החזקה הבאה הוא מינוס העקבה של המטריצה.

נוסחאות ויאטה מחברות בין המקדמים של פולינום לבין השורשים שלו. שורש הוא מספר שהופך את הפולינום לאפס.

לדוגמה, למשוואה ריבועית ax^2+bx+c יש שני שורשים x1 ו-x2. מתקיים x1+x2=-b/a. וגם x1*x2=c/a. זה אומר שהסכום והמכפלה של השורשים קשורים ישירות למספרים a, b, c.

גם למטריצות יש "שורשים" שנקראים ערכים עצמיים. סכום הערכים העצמיים שווה העקבה של המטריצה. עקבה זו היא סכום המספרים על האלכסון. המכפלה שווה הדטרמיננטה, שזה מספר מיוחד של המטריצה.