נקודת אי־רציפות של פונקציה היא נקודה שבה הפונקציה אינה רציפה. זה קורה אם הגבול כאשר x מתקרב ל־a (המספר שאליו ערכי הפונקציה נוטים להתקרב) שונה מהערך f(a), או אם f(a) בכלל לא מוגדר. נהוג להבחין בשלושה סוגי אי־רציפות:
אי־רציפות סליקה: הגבול כאשר x שואף ל־a קיים, אך שונה מ‑f(a). אפשר "לתקן" את הפונקציה על ידי הגדרת f(a) כך שתשווה לגבול.
אי־רציפות מהסוג הראשון (קפיצה): הגבול הכללי לא קיים, אך קיימים שני גבולות חד‑צדדיים (מימין וממשמאל) שהם ערכים סופיים ושונים זה מזה.
אי־רציפות מהסוג השני (עיקרית): לפחות אחד מהגבולות החד‑צדדיים אינו קיים כמספר ממשי. כלומר ההתנהגות מצד אחד או משני הצדדים לא מתייצבת על ערך.
- הפונקציה sin(x)/x אינה מוגדרת ב־0, אך הגבול כשניגשים ל־0 שווה ל־1. אם נגדיר את ערך הפונקציה ב־0 כ־1, היא תהיה רציפה שם. זו אי־רציפות סליקה.
- פונקציית מדרגה (היויסייד) נותנת ערך שונה משני הצדדים של 0. יש גבול מימין וגבולמשמאל, ושניהם שונים, זו אי־רציפות מסוג ראשון, "קפיצה".
- הפונקציה sin(1/x) מתנדנדת חזק כאשר מתקרבים ל־0, בין 1 ל־−1. אין לה גבול אף חד‑צדדי שם, ולכן זו אי־רציפות מהסוג השני.
אפשר להראות כל סוג באמצעות פונקציות חתוכות (piecewise). לדוגמה: פונקציה שגבולה ב‑1 הוא 1 אבל ערכה ב‑1 שונה, נסמן זאת כסליקה; פונקציה עם ערך שונה משמאל ומימין ל‑1 מראה קפיצה; פונקציה כמו sin(5/(x−1)) מתנדנדת סביב 1 והגבול לא קיים, לכן זו אי־רציפות עיקרית.
נקודת אי־רציפות היא נקודה שבה פונקציה "קורסה" ולא חלקה. הגבול הוא המספר שאליו ערכי הפונקציה מתקרבים כשמתקרבים לנקודה. אם הגבול שונה מהערך בפועל, או שאין ערך בפועל, זו אי־רציפות.
יש שלושה סוגים פשוטים:
- אי־רציפות סליקה: יש גבול ברור, אבל הערך בפועל שונה. אפשר לתקן זאת על‑ידי שינוי הערך בנקודה. (לדוגמה: sin(x)/x סביב 0, הגבול הוא 1.)
- אי־רציפות קפיצה: יש ערך מהצד הימני וערך מהצד השמאלי. שני הערכים שונים. ("חד‑צדדי" אומר רק מצד אחד, ימין או שמאל.)
- אי־רציפות עיקרית: לא קיים גבול אפילו מצד אחד. הפונקציה מתנהגת פראי כשמתקרבים לנקודה. (לדוגמה: sin(1/x) סביב 0 מתנדנד המון.)
- אפשר לתקן פונקציה על ידי נתינת ערך אחר לנקודה.
- פונקולת מדרגה מדגימה קפיצה.
- פונקציות שמתנדנדות לא נותנות גבול.
תגובות גולשים