נקודת פיתול

נקודת פיתול היא נקודה שבה פונקציה משנה את קימורה: עוברת מקמורה לקעורה, או להפך.

אם פונקציה גזירה פעמיים בנקודה x0 (כלומר אפשר לקחת את הנגזרת ושוב נגזרת), אז הנגזרת השנייה שם שווה אפס. לכן נקודות חשודות כנקודות פיתול הן אלה שבהן הנגזרת השנייה אינה מוגדרת או שהיא מתאפסת.

כדי לבדוק באמת פיתול בודקים את סימן הנגזרת השנייה משני צידי הנקודה. החלפת סימן מצביעה על נקודת פיתול. אפשר גם לגזור שוב ושוב עד שמוצאים נגזרת שאינה אפס בנקודה: אם זו הנגזרת הראשונה שאינה אפס וסדרה אי‑זוגי, יש פיתול; אם סדרה זוגי, אין פיתול.

הפונקציה x בחזקת שלוש (x ב־3) היא דוגמה קלאסית. הנגזרות הן: הנגזרת הראשונה פרופורציונית ל־x^2, השנייה פרופורציונית ל־x, והשלישית קבועה וחיובית. מכיוון שהנגזרת השנייה ב־0 שווה אפס, והנגזרת השלישית אינה אפס (סדר אי‑זוגי), הנקודה 0 היא נקודת פיתול.

לעומת זאת, הפונקציה x בחזקת ארבע נותנת נגזרת ראשונה ושנייה שמתאפסת ב־0, והנגזרת הראשונה שאינה אפס היא הרביעית (סדר זוגי). לכן 0 אינה נקודת פיתול במקרה זה.

הערה חשובה: ייתכן שהנגזרת בנקודה תהיה 0, אך הנקודה לא תהיה גם נקודת קיצון וגם לא נקודת פיתול. למשל פונקציה שמקיימת תנודות קטנות סביב 0 (כמו x^2 כפול sin(1/x) מחוץ ל־0), רציפה וגזירה ב־0, ונגזרתה שם 0, אך 0 אינה נקודת קיצון ולא נקודת פיתול.

נקודת פיתול היא מקום שבו קימור הגרף משתנה. קימור זה אומר אם הגרף כיפתי או קערתי.

נגזרת שנייה, מדד לשינוי השיפוע של הגרף. אם היא משנה סימן לפני ואחרי נקודה, זו נקודת פיתול.

הפונקציה x בחזקת שלוש (x בחזקת 3) יש לה נקודת פיתול ב‑0. שם הגרף משנה את הקימור.

הפונקציה x בחזקת ארבע (x בחזקת 4) לא יש לה נקודת פיתול ב‑0.

לפעמים הנגזרת בנקודה היא 0, אבל אין שם קיצון ולא פיתול. דוגמה לכך היא פונקציה שמתהפכת הרבה סביב 0. הנגזרת ב‑0 יכולה להיות 0 ועדיין לא להיות פיתול.