פונקציה קעורה

פונקציה קעורה בקטע היא פונקציה שבה, עבור כל שתי נקודות באותו קטע, הישר המחבר ביניהן נמצא מתחת לגרף הפונקציה. המונח נובע מכך שהעקום נראה קמור מלמעלה, אך מבחינה מתמטית בוחנים אותו מהמטה ולכן הוא נקרא קעור.

פורמולציה מקובלת: תהי f מוגדרת ב[a,b]. עבור כל x,y ב[a,b] וכל λ בין 0 ל-1 מתקיים: λ·f(x)+(1−λ)·f(y) ≤ f(λx+(1−λ)y). זאת אומרת, הערך של f בנקודה שמתקבלת משילוב של x ו-y גדול או שווה לממוצע המשוקלל של הערכים ב-x ו-y.

הגדרה שקולה: f קעורה אם -f קמורה (קמורה = הישר המחבר נקודות על הגרף נמצא מעליו).

תנאי עם נגזרות: אם f גזירה, אז היא קעורה בדיוק כשהנגזרת f' היא פונקציה מונוטונית יורדת. משמעות "מונוטונית יורדת": ערך הנגזרת לא גדל כשעולים ב-x, כלומר השיפוע נוטה להצטמצם. אם f גזירה פעמיים, מספיק לבדוק שהנגזרת השנייה שלילית בכל הקטע; אז f קעורה.

תנאי באמצעות היפוגרף: היפוגרף הוא קבוצת הנקודות שמתחת או על גרף הפונקציה. פונקציה היא קעורה אם ההיפוגרף שלה הוא קבוצה קמורה.

פונקציה ליניארית (קו ישר) היא גם קעורה וגם קמורה בו־זמנית. במקרה זה אי־השוויון הופך לשוויון, ולכן הנקודות תמיד על הישר המחבר.

פונקציה קעורה: כשרושמים גרף של הפונקציה, הקו שמחבר שתי נקודות על הגרף יהיה מתחת לגרף עצמו. זאת אומרת שהעקומה מעוקמת כלפי מטה.

תארו שתי נקודות על אותו חלק של הגרף. קו ישר שמחבר אותן נמצא תמיד מתחת או על הגרף. זה מה שמיוחד בפונקציה קעורה.

מילים חשובות: "נגזרת" היא השיפוע, כמה הפונקציה עולה או יורדת. אם השיפוע קטן יותר כשנוסעים ימינה, זה סימן שהפונקציה קעורה. "היפוגרף" הוא כל הנקודות שמתחת לגרף.

קו ישר נחשב גם קעור וגם קמור. בקו ישר כל נקודה נמצאת על הקו המחבר תמיד.