נקודת קיצון

נקודת קיצון היא נקודה שבה ערך הפונקציה הוא הגבוה ביותר או הנמוך ביותר.
יש להבחין בין קיצון מקומי לבין קיצון גלובלי (מוחלט). קיצון גלובלי הוא המקום שבו הערך הוא הכי גדול או הכי קטן בכל תחום ההגדרה. קיצון מקומי מוגדר בתוך סביבה קטנה סביב הנקודה בלבד.
הדרך היעילה למציאת נקודות קיצון היא באמצעות הנגזרת.

תהא f(x): \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} פונקציה. בשם "נקודת קיצון" מתכוונים לנקודת מינימום או מקסימום, בין אם מקומית או גלובלית. המשמעות של "סקלרית" היא שהפונקציה מחזירה מספר ממשי (מספר רגיל), ולא וקטור.

לפי משפט פרמה, אם פונקציה גזירה בנקודה ויש בה קיצון מקומי, אז הנגזרת בנקודה הזו שווה לאפס. כלומר שיפוע המשיק שווה לאפס. עם זאת, נגזרת שווה לאפס לא מחייבת קיצון, היא יכולה להופיע בנקודת פיתול.

ייתכן שנקודת קיצון תתקיים גם כאשר הנגזרת לא מוגדרת בנקודה. דוגמה: f(x)=∛(x^2) (שורש קובייתי של x בריבוע). הנגזרת שלה היא f'(x)=2/(3∛{x}) ולמרות שהפונקציה רציפה לכולם, היא אינה גזירה ב-x=0. בנקודה זו יש מינימום מקומי וגם גלובלי, ויש משיק אנכי כי הגבולות החד־צדדיים של הנגזרת שואפים לאינסוף.

ניתן לבחון את סימן הנגזרת משני צידי הנקודה. אם הפונקציה יורדת לפני הנקודה ועולה אחריה, זו נקודת מינימום. אם היא עולה לפני ועולה אחריה, זו נקודת מקסימום.
באותה דרך אפשר להשוות ערכים בפונקציה המקורית בצדדים של הנקודה.

שיטה נוספת היא להכניס את נקודת הקיצון לנגזרת השנייה. אם הנגזרת השנייה חיובית, הפונקציה קמורה והנקודה היא מינימום. אם היא שלילית, הפונקציה קעורה והנקודה היא מקסימום.

נקודת קיצון היא נקודה שבה הערך של פונקציה הוא הכי גדול או הכי קטן.
מקסימום זה הכי גדול. מינימום זה הכי קטן.
יש שני סוגים: מקומי (בתוך אזור קטן) וגלובלי (בכל התחום).

פונקציה סקלרית (סקלרית אומרת: מחזירה מספר) מקבלת קלט ומחזירה מספר.
כדי למצוא נקודות קיצון בודקים את הנגזרת. נגזרת (שיפוע) אומרת האם הפונקציה עולה או יורדת.

אם הפונקציה גזירה בנקודה ויש שם קיצון מקומי, אז הנגזרת שם שווה לאפס.
אבל לפעמים הנגזרת שווה לאפס ולא מדובר בקיצון.
גם יכול להיות קיצון במקום שבו הנגזרת לא מוגדרת.
דוגמה: f(x)=∛(x^2). היא מוגדרת לכל x. הנקודה x=0 אינה גזירה שם, והיא מינימום.

בודקים אם הפונקציה יורדת לפני הנקודה ועולה אחרי. אם כן, זו נקודת מינימום.

אם הנגזרת השנייה חיובית, זו נקודת מינימום. אם היא שלילית, זו נקודת מקסימום.