סימון דיראק

סימון דיראק (או כתיב דיראק, ברה-קט) הוא צורת כתיבה שמתארת מצבים קוונטיים. השם נובע מפול דיראק. זוג סימנים ⟨φ|ψ⟩ מייצג מכפלה פנימית (inner product), שהיא מספר מקשר בין שני מצבים. החלק השמאלי ⟨φ| נקרא "ברה" ו|ψ⟩ נקרא "קט".

סימון זה מסדר את המתמטיקה של מכניקת הקוונטים. מצב קוונטי יכול להיות סופרפוזיציה של מצבים עצמיים של אופרטור שמייצג גודל מדיד. המכפלה הפנימית ⟨a|ψ⟩ נותנת את המשרעת למדידת הערך a. ההסתברות למדוד a היא ריבוע מבחינת הערך המוחלט של המשרעת.

בסיס המקום מורכב ממצבים |r⟩ שמייצגים את מיקום החלקיק. ההיטל ⟨r|ψ⟩ = ψ(r) היא פונקציית הגל של החלקיק.

במכניקת הקוונטים מצב מזוהה עם קט |ψ⟩ במרחב הילברט. לכל קט יש ברה דואלי ⟨ψ|, שהוא פונקציונל שממפה קט למספר קומפלקסי דרך המכפלה הפנימית. משפט ההצגה של ריס מבסס את ההצמדה הזו בין מרחב הילברט למרחב הדואלי.

הצמדת ברה לקט נותנת מספר מרוכב ⟨φ|ψ⟩. במובן פיזיקלי, המכפלה הזו נתפסת כמשרעת להיתקעות של מצב ψ במצב φ.

המכפלה הפנימית ליניארית בגורם הימני וקונפיוגטיבית בלפניו. כלומר הצמדות לקווים ליניאריים שומרת על חיבור וכפל בסקלרים, כאשר בצד הברות מופיע ההשפעה של קומפלקס מצומד.

אופרטור ליניארי ˆA פועל על קט |ψ⟩ ונותן וקטור חדש ˆA|ψ⟩. גדלים פיזיקליים מדידים מיוצגים באופרטורים הרמיטיים, כלומר ˆA=ˆA†, כאשר † הוא צמוד הרמיטי (dagger).
ניתן לרשום גם את הביטוי ⟨φ|ˆA|ψ⟩ עבור פונקציונל שמערב ברה, אופרטור וקט.

אופרטור יכול להיות מנותח באמצעות מכפלה חיצונית |ψ⟩⟨φ|. אופרטור זה פועל על קט |ρ⟩ ומחזיר |ψ⟩⟨φ|ρ⟩ = ⟨φ|ρ⟩|ψ⟩, כך שההיטל ⟨φ|ρ⟩ הוא המקדם של |ψ⟩. במקרה ש⟨φ|φ⟩=1, האופרטור |φ⟩⟨φ| הוא הטלה אורתוגונלית.

בסיס שלם {|ψ_i⟩} מאפשר להצגת אופרטור כסכום מכפלי בסיסים עם מקדמים a_{ij} = ⟨ψ_i|ˆA|ψ_j⟩. במידה והמקדמים הם דלתא של קרונקר, מקבלים את אופרטור היחידה.

לרוב נוח לעבוד עם ההיטלים של קטים על בסיס מסוים. בגישה זו וקטור |ψ⟩ מייצג פונקציית גל ψ(x)=⟨x|ψ⟩, ואופרטור A על פונקציות מתואר על ידי ⟨x|A|ψ⟩.
חלק מהאופרטורים, כגון אופרטור התנע p, מקבלים מימוש דיפרנציאלי כשמתרגמים את הקט לפונקציית גל.

מערכת עם כמה חלקיקים מתוארת על ידי מכפלה טנזורית של מרחבי הילברט של כל חלקיק. אם |ψ⟩ שייך למרחב V ו|φ⟩ ל-W, אז המצב הכולל שייך ל-V ⊗ W.
בכתיבה מקוצרת כותבים |ψφ⟩ או |ψ⟩|φ⟩ במקום סימן המכפלה.

למערכת של שני חלקיקים בעלי מסה זהה, מצב ביניהם שייך לΧ ⊗ Χ, כאשר לכל חלקיק צבר מצבים עצמיים.

מוגדר אופרטור החלפה P_{21} שמחליף את התוויות של חלקיקים. מצב הוא סימטרי אם ההחלפה משאירה אותו ללא שינוי. מצב הוא אנטי-סימטרי אם ההחלפה מחזירה את המצב עם סימן מינוס.
התכונות האלו חשובות לחלקיקים זהים.

אם לחלקיק יש גם מרחב מיקום וגם מרחב ספין, מרחב הכולל הוא מכפלת המרחבים. אופרטור ההחלפה פועל על שני חלקי המרחב. כדי שהמצב הכולל יהיה סימטרי או אנטי-סימטרי, יש לשקלל את הסימטריות של חלקי הספין והמיקום.

מצב EPR בגרסת בוהם מתאר שני ספינים בקט הבא:
|EPR⟩ = (1/√2)(|↑⟩_1|↓⟩_2 - |↓⟩_1|↑⟩_2).
זהו מצב שזור של אנטי-קורלציה: מדידה של ספין אחד קובעת מיד את הספין של השני באופן הפוך.

סימון דיראק הוא דרך לכתוב מצבים בקוונטום. פול דיראק הגה אותו. יש שני חלקים חשובים: ברה וקט.

ברא וקט הם סימנים שמחברים מצבים. כשמחברים ברה וקט מקבלים מספר. מספר זה מראה כמה סביר שיקרה משהו.
פונקציית גל ψ(r) מראה היכן החלקיק עשוי להימצא.

קט הוא הייצוג של מצב. ברה הוא "המצמיד" שלו. הצמדתם נותנת משרעת שמובילה להסתברות.

המכפלה הפנימית שומרת על חיבור וכפל בסקלרים. בצד אחד נראה את המספר הקומפלקסי המצומד.

אופרטור הוא פעולה על מצב. גדלים נמדדים מיוצגים באופרטורים מיוחדים שנקראים הרמיטיים. הסימן † אומר "צמוד".
יש אופרטור שנקרא הטלה. הוא מחזיר את החלק של מצב בכיוון מסוים.

כשיש שני חלקיקים, משתמשים במכפלה טנזורית. זהו שילוב של המרחבים של כל אחד.

החלפה של שני חלקיקים יכולה לא להשפיע על המצב. אם כן, המצב סימטרי. אם מקבלים מינוס, המצב אנטי-סימטרי.

מצב EPR של בוהם הוא דוגמה לשני ספינים שזור. אם מודדים את הספין של חלקיק אחד, הספין של השני יהיה הפוך.