סכום של שני ריבועים

הצגה של מספר כסכום של שני ריבועים (כלומר כמספרים מהצורה a^2+b^2) היא בעיה קלאסית בתורת המספרים. דיופנטוס הציג אותה בגישה גאומטרית: למצוא משולש ישר־זווית עם צלעות שלמות שאורכו של היתר הוא מספר נתון. פרמה טען (ללא הוכחה) תנאי הכרחי ומספיק: מספר שלם ניתן לכתוב כסכום של שני ריבועים אם ורק אם כל גורם ראשוני מהצורה 4m-1 מופיע בחזקה זוגית. אוילר הוכיח טענה זו והקליטה אותה כ"משפט שני הריבועים של פרמה". בעיית הממוצע של מספר ההצגות קשורה לבעיית המעגל של גאוס.

ב־1225 פיבונאצ'י הראה את נוסחת המכפלה (הידועה גם כנוסחת ברהמגופטה־פיבונאצ'י) שמאפשרת לכפול שתי הצגות של סכום ריבועים ולקבל הצגה חדשה. מכאן נובע שאם יודעים להצגה עבור כל גורם ראשוני, אפשר לבנות הצגה לכל מכפלה שלהם. דוגמה פשוטה: מההצגות 3^2+2^2=13 ו־1^2+2^2=5 מקבלים הצגות של 65.

פרמה דן בנושא שוב במאות ה־17 וקבע תוצאות נוספות על פתרונות המשוואה a^2+b^2=n, כולל מקרים של חזקות של ראשוניים של הצורה 4k+1. Bernard Frénicle הבין שהצגת מספר בשתי דרכים שונות כסכום של ריבועים מאפשרת לפרקו לגורמים לא־טריוויאליים; משתמשים בכך בנוסחאות המבוססות על gcd (המחלק המשותף המקסימלי). אוילר הוכיח שאם a ו־b זרים, אז כל גורם של a^2+b^2 הוא סכום של שני ריבועים. בהמשך תרמו לז'נדר, גאוס ויעקובי לניתוח מספר ההצגות ולנוסחאות מדויקות יותר.

נציג בקווים כלליים הוכחה בנסיגה לכך שכל ראשוני p שווה ל־1 מודולו 4 (כלומר נותן שארית 1 בחלוקה ב־4) ניתן להציג כסכום של שני ריבועים. ידוע שקיים x כך ש־x^2+1 מתחלק ב־p, כלומר x^2+1=mp. מתחילים מהצגה של mp כסכום של שני ריבועים ואז מחלקים ב־m כדי לקבל הצגה של m_1 p עם m_1 קטן. חוזרים כך עד שמתקבלים m_1=1, כלומר הצגה של p עצמו.

דוגמה: p=89. בוחרים x=34 כי 34^2+1=13·89, כלומר m=13. מחלקים 34 ו־1 ב־13 ומקבלים שאריות שמייצרות הצגה של 13·2. ממשיכים עם m=2 ומקבלים בסוף את ההצגה 89=8^2+5^2.

גאוס נתן נוסחה לתלות מספר ההצגות של מספר M כסכום של שני ריבועים. אם M מפורק ל־2^S וכמה גורמים ראשוניים מהצורה 4n+1 עם מעריכים α,β,..., אז מספר ההצגות (המונים שונים) מתקבל כמכפלת (α+1)(β+1).... במקרה שכולם המעריכים זוגיים יש תיקון במנה. משמעות התוצאה: מספר ההצגות תלוי בעיקר במעריכים של הראשוניים מהצורה 4n+1.

הסכום x^2+y^2 הוא הנורמה של המספר המרוכב x+yi (כאשר i^2=-1). חוג השלמים של גאוס, Z[i], הוא הקבוצה של מספרים כאלה עם מקדמים שלמים. בחוג זה אפשר לפרק מספרים ולראות מתי הם ניתנים להצגה כסכום ריבועים. לפי הניתוח בחוג זה, ראשוניים טבעיים ההופכים ל־1 מודולו 4 "נשברים" לחלקים צמודים ב־Z[i] וניתנים להצגה כנורמות, ואילו ראשוניים ההשווים ל־3 מודולו 4 נשארים ראשוניים גם ב־Z[i]. כך פרוק בחוג זה נותן את ההצגות של n כסכום של שני ריבועים.

להציג מספר כ־a^2+b^2 פירושו לחבר שני ריבועים. ריבוע הוא מספר כפול עצמו.

הבעיה ידועה מאוד. פיבונאצ'י הראה שאם יש הצגה לשני מספרים, אפשר להכין הצגה למכפלה שלהם. לכן מספיק לדעת להצגה של המספרים הראשוניים.

פרמה גילה כלל חשוב: ראשוניים שנותרים 1 כשמחלקים ב־4 (משאירים שארית 1) אפשר לכתוב כסכום של שני ריבועים. אוילר הוכיח את זה. אם יש שתי דרכים שונות לכתוב מספר כסכום ריבועים, אפשר בעזרת חישוב למצוא גורם חדש שלו.

לראשוני p שמתנהג כ־1 בחלוקה ב־4 יש מספר x כך ש־x^2+1 מתחלק ב־p. מכאן בונים הצגה של p על ידי חלוקות ושאריות שחוזרות על עצמן עד שמקבלים הצגה של p כ־a^2+b^2.

דוגמה: p=89. דרך החישובים מקבלים בסוף 89=8^2+5^2.

המבנה x^2+y^2 הוא גם "נורמה" של המספר המרוכב x+yi. חוג מיוחד של מספרים אלה עוזר להבין מתי אפשר לכתוב מספר כסכום ריבועים. ראשוניים ש״נשארים 3 בחלוקה ב־4״ אינם נשברים שם, אבל הראשוניים ש״נותנים 1" כן נשברים וזאת מאפשרת למצוא את ההצגה.