סריג (מבנה סדור)

בסריג מוגדר יחס סדר חלקי שבו לכל שני איברים a,b קיימים אינפימום (המפגש, הגבול התחתון המקסימלי) וסופרמום (המצרף, הגבול העליון המינימלי). המפגש והמצרף הם שתי פעולות בינאריות על האיברים, שמייצגות חיבור ומפגש מבחינת הסדר.

דוגמה פשוטה היא אוסף תתי-הקבוצות של X, כאשר המצרף הוא האיחוד והמפגש הוא החיתוך. גם אוסף תת-הקבוצות הסופיות של X הוא סריג. בכל יחס סדר מלא (כלומר סדר שבו כל זוג ניתן להשוואה) המצרף הוא המקסימום והמפגש הוא המינימום.

סריג שלם הוא סריג שבו לכל תת־קבוצה (לאו דווקא בת זוגות) יש אינפימום וסופרמום. כל סריג שלם הוא חסום: יש בו איבר קטן ביותר ואיבר גדול ביותר. סריג תתי־הקבוצות של X הוא שלם. יחד עם זאת, לא כל אלגברה בוליאנית היא שלמה. הסריג שמתקבל מסדר מלא הוא שלם אם ורק אם גם הסדר וגם ההפכי שלו הם יחסי סדר טובים (well-ordered).

אם לכל זוג איברים קיים מצרף אבל לא תמיד מפגש, קוראים לקבוצה סריג-למחצה עליון. באופן דומה יש סריג-למחצה תחתון כאשר לכל זוג קיים מפגש. היפוך יחס הסדר מחליף בין שני הסוגים.

פעולת המצרף מקיימת שלוש תכונות: אסוציאטיביות (הסדר שבו מחברים לא משנה), קומוטטיביות (a ≡ b) ואידמפוטנטיות (a מחובר עם עצמו נותן a). לכל קבוצה עם פעולה בינארית שמקיימת תכונות אלה אפשר להגדיר יחס סדר על ידי a ≤ b אם ורק אם a ⋉ b = a. כך יש התאמה מלאה בין סריגים-למחצה לבין קבוצות עם פעולת מצרף כזו. דוגמה אופיינית היא חיתוך קבוצות: A ⋉ B = A ∩ B מקיים את התכונות ומגדיר יחס הכלה רגיל.

אם a ≤ b אז תמיד מתקיים a ⋉ (c ∩ b) ≤ (a ⋉ c) ∩ b. אם הביטוי הזה הוא שוויון תמידי, הסריג נקרא מודולרי. סריגים חשובים מודולריים הם סריג תתי־החבורות הנורמליות של חבורה וסריג תתי־המודולים של מודול.

אומרים שאיבר a מכסה את b אם b < a ואין איבר שוכן ביניהם. אם המצרף עם איבר שומר על התכונה "מכסה או שווה" מקבלים תכונה הנקראת מודולריות-למחצה עליונה. בצורה דומה מגדירים מודולריות-למחצה תחתונה בעזרת המפגש. כל סריג מודולרי הוא גם מודולרי למחצה עליון ותחתון. ההיפך נכון אם אין בסריג שרשראות אינסופיות: אז מודולריות למחצה בשני הטיפוסים מביאה למודולריות. במצב זה אורך כל השרשראות המקסימליות בין שני איברים זהה, וניתן להגדיר מרחק d(a,b) כאורכה של השרשרת הקצרה ביותר מ-a ל-b. תכונות מודולריות-למחצה והמודולריות עצמה ניתן לתאר גם באמצעות אי־שוויוניות והשוואות של מרחקים אלה.

סריג הוא קבוצה עם סדר. לכל שני איברים יש מפגש ומצרף. מפגש הוא האיבר שמתחת לשניהם. מצרף הוא האיבר שמעל לשניהם.

דוגמה: כל תתי-הקבוצות של קבוצה X. החיתוך הוא מפגש. האיחוד הוא מצרף. גם תתי-הקבוצות הסופיות יוצרים סריג.

סריג שלם אומר שלכל קבוצה בתוך הסריג יש מפגש ומצרף. סריג כזה תמיד חסום. כלומר יש בו איבר הכי קטן ואיבר הכי גדול. סריג תתי-הקבוצות של X הוא כזה. לא כל אלגברה בוליאנית היא שלמה.

אם לכל זוג יש מצרף אבל לא תמיד מפגש קוראים לזה סריג-למחצה עליון. אם יש תמיד מפגש אבל לא תמיד מצרף זה סריג-למחצה תחתון.

פעולת המצרף צריכה להיות מסודרת. זאת אומרת: אפשר לשנות את הסדר של החיבור, ואין הבדל אם מחברים ביחד או בשלבים. גם לחיבור של איבר עם עצמו צריך לצאת אותו איבר.

חלק מהסריגים נקראים מודולריים. הם מקיימים כלל שמקשר בין חיבור ומפגש. דוגמות חשובות הן תתי־החבורות הנורמליות ותתי־המודולים.