עיגולי גרשגורן

עיגולי גרשגורן עוזרים להעריך היכן נמצאים הערכים העצמיים של מטריצה בעזרת חישוב פשוט.

השם מיוחס לסמיון ארונוביץ' גרשגורן.

תהא A מטריצה מסדר n×n מעל הסכם הממשיים או המרוכבים. נסמן R'_i(A) = סכום הערכים המוחלטים של איברי השורה ה-i פרט לאיבר האלכסון. כלומר R'_i(A)=∑_{j≠i}|a_{ij}|. אז כל הערכים העצמיים של A, אותם מספרים שמאפיינים כיצד המטריצה משנה וקטורים, נמצאים בתוך אחד מהעיגולים הבאים: עבור כל i, העיגול שמרכזו a_{ii} ולרדיוס R'_i(A).

אם k מתוך העיגולים יוצרים רכיב קשירות נפרד מהשאר, אותו רכיב מכיל בדיוק k ערכים עצמיים.

מטריצה בעלת אלכסון שולט היא כזו שלכל i מתקיים |a_{ii}|>R'_i(A). כלומר כל ערך באלכסון גדול יותר מסכום יתר האיברים באותה שורה. משפט גרשגורן מאפשר להסיק שמטריצה עם אלכסון שולט היא הפיכה, כי אין ערך עצמי שווה ל-0 לכל אחד מהעיגולים המרחק מהאפס גדול מהרדיוס.

עיגולי גרשגורן עוזרים לדעת איפה נמצאים הערכים העצמיים של מטריצה. הערך העצמי הוא מספר שמספר איך המטריצה משנה כיוון או גודל של וקטור.

מטריצה היא טבלה של מספרים. עבור כל שורה בוחרים את המספר על האלכסון (המספר שנמצא באותו העמוד והשורה). מרכיבים עיגול שמרכזו המספר הזה. רדיוס העיגול הוא סכום הערכים של שאר המספרים בשורה (בלקיחה מוחלטת). כל הערכים העצמיים נמצאים בתוך אחד מהעיגולים האלה.

אם כמה עיגולים מחוברים זה לזה וגם מופרדים מהאחרים, אז הם יחד מכילים בדיוק כמה ערכים עצמיים כמו מספר העיגולים בהם.

מטריצה בעלת אלכסון שולט היא כזו שבערך על האלכסון גדול יותר מסכום שאר המספרים באותה שורה. מטריצה כזו היא הפיכה. זאת אומרת, יש דרך למצוא מטריצה אחרת שמבטלת אותה וכך לפתור משוואות בקלות.