פולינום אי פריק

פולינום אי-פריק הוא פולינום (ביטוי מתמטי עם חזקות של x) שאי אפשר לכתוב כמכפלה של שני פולינומים לא-קבועים. פולינום פריק הוא כזה שניתן לפרקו. משמעות הפריקות תלויה גם בשדה, כלומר בקבוצת המספרים שבה עובדים (שדה: מקום שבו אפשר לחבר, להכפיל ולחלק בלי בעיות). פולינומים אי-פריקים חשובים בתורת גלואה ובבניית שדות סופיים.

פולינומים אי-פריקים הם כמו מספרים ראשוניים בתוך חוג הפולינומים. החוג הזה הוא חוג אוקלידי, ולכן כל פולינום ניתן לפירוק למכפלה של פולינומים אי-פריקים, והפירוק יחיד עד לסידור וסקלרים.

פולינום ממעלה שנייה או שלישית הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה שבו עובדים. כלומר, אם אפשר למצוא מספר בשדה שמאפס אותו.

קריטריון איזנשטיין נותן תנאי פשוט לאי-פריקות עבור פולינומים עם מקדמים שלמים. אם קיים מספר ראשוני p (מספר שיש לו בדיוק שני מחלקים: 1 ו-p) שמחלק את כל המקדמים פרט למקדול העליון, ואם p לא מחלק את המקדול העליון ו-p^2 לא מחלק את המקדול החופשי, אז הפולינום אי-פריק על המספרים השלמים. מלמה של גאוס נובע שאם פולינום פרימיטיבי ואי-פריק בתחום פריקות יחידה, אז הוא אי-פריק גם מעל שדה השברים של התחום.

נבחן שלושה פולינומים: p1(x)=x^2-4, p2(x)=x^2-2, p3(x)=x^2+1. מעל השדה הרציונלי Q רק p1 פריק, כי השורשים ±2 שייכים ל-Q. p2 ו-p3 אי-פריקים ב-Q כי השורש של p2 הוא √2 והשורש של p3 הוא i, שאינם ברציונליים. מעל המספרים הממשיים R, p1 ו-p2 מתפרקים, ו-p3 לא. מעל המספרים המרוכבים C כל שלושת הפולינומים מתפרקים. המשפט היסודי של האלגברה מבטיח שכל פולינום ממעלה גבוהה מ-1 מתפרק מעל C.

פולינום אי-פריק הוא פולינום (ביטוי עם x בחזקות) שלא אפשר לפצל לשני פולינומים קטנים יותר. פולינום פריק כן אפשר לפצל.

האם פולינום מתפרק תלוי בשדה שבו עובדים. שדה זה קבוצה של מספרים שבה אפשר לחלק.

פולינום ממעלה 2 או 3 מתפרק רק אם יש לו שורש. שורש הוא מספר שמאפס את הפולינום.

קריטריון איזנשטיין עובד על פולינומים עם מקדמים שלמים. אם קיים מספר ראשוני p (מספר מתחלק רק ב-1 וב-p) שמחלק את כל המקדמים חוץ מהמקדול העליון, ו-p^2 לא מחלק את המקדול החופשי, אז הפולינום אי-פריק.

הנה שלושה פולינומים: x^2-4, x^2-2, x^2+1. מעל המספרים הרציונליים רק x^2-4 מתפרק. הסיבה: השורשים ±2 הם רציונליים. השורש של x^2-2 הוא √2, והשורש של x^2+1 הוא i. אלה לא ברציונליים. מעל המספרים המרוכבים כל הפולינומים מתפרקים.