פולינומי הרמיט

פולינומי הרמיט, על שם המתמטיקאי שארל הרמיט, הם סדרת פולינומים אורתוגונליים רציפה. הם מופיעים בפיזיקה (כגון פתרונות לאוסצילטור הרמוני קוונטי - מודל של חלקיק שמשתנה סביב נקודה יציבה, ובתיאור אלומת לייזר) ובקומבינטוריקה.

הגדרה ודיפרנציאלית
H_n(x)={(-1)^n} e^{x^2} {d^n\over dx^n} e^{-x^2}.
הם גם פותרים את המשוואה הדיפרנציאלית y''-2x y'+2n y=0 על כל ציר המספרים.

שווים ראשונים
H_0=1, H_1=2x, H_2=4x^2-2, H_3=8x^3-12x.

פולינומי הרמיט אורתוגונליים ביחס למשקל e^{-x^2}. זאת אומרת שאינטגרל של מכפלת שני פולינומים שונים, מוכפל ב-e^{-x^2}, שווה לאפס. הנורמליזציה מובטחת דרך A_n=\sqrt{\pi}2^n n!.
כך אפשר להרחיב פונקציות כטור של פולינומי הרמיט ולקבל מקדמים C_n על ידי אינטגרל מתאים.

הפונקציה היוצרת היא Φ(x,h)=e^{2xh-h^2}. מפתחים אותה בחזקה ב-h כדי לקבל את H_n.

היחס המאפשר לבנות H_{n+1} מתוך H_n ו-H_{n-1} הוא: H_{n+1}(x)=2x H_n(x)-2n H_{n-1}(x).

יש נוסחה מפורשת בעזרת סכימה וייצוג אינטגרלי בעזרת e^{-t^2}, שמקנים דרכים שונות לחשב H_n.

במכניקה קוונטית פונקציות העצמי של האוסצילטור הרמוני בנויות מפקטור רגיל, e^{-const x^2}, וכפיפולים של H_n על מנת לקבל את מצבי האנרגיה הספציפיים (n=0,1,2,...).

פולינומי הרמיט הם סדרה של ביטויים במשתנה x. כל ביטוי כזה נקרא פולינום. הם חשובים בפיזיקה ובמתמטיקה.

מה זה פולינום?
פולינום הוא חיבור של חזקות של x עם מספרים כמקשרים. למשל H_0=1 ו-H_1=2x.

איך בונים אותם?
את H_n מכינים על ידי פעולה של מדידה מיוחדת (נגזרת) על פונקציה עם e^{-x^2}. נגזרת זו מודדת שינוי בערך הפונקציה.

רעיונות חשובים
- יש דרך לחבר כל שני פולינומים מקובלים, והם "מפרידים" זה את זה יחסית למשקל e^{-x^2}. זה נקרא אורתוגונליות, כמו וקטורים שהם כמעט אנכיים.
- אפשר לבנות פולינום אחד מהקודמים בעזרת חוק פשוט: הפולינום הבא נוצר משילוב של x ושל שני פולינומים קודמים.

למה זה מעניין?
פולינומי הרמיט עוזרים לתאר מצבים של חלקיקים קטנים שמרעידים סביב נקודה, ולתאר גם אלומות אור של לייזר. הם נותנים כלים לשבור בעיות לקבוצות פשוטות שניתן להבין.