אורתוגונליות

אורתוגונליות היא הכללה של ניצבות בגאומטריה. בשפה פשוטה, שני איברים במרחב וקטורי נקראים אורתוגונליים אם "מכפלה פנימית" שלהם שווה לאפס. מכפלה פנימית היא פונקציה שמקשרת בין שני וקטורים ומדמה את רעיון מכפלת האורכים והקוסינוס של הזווית ביניהם; היא נותנת משמעות לאורך ולזווית גם במרחבים שלא נראים כמו ישרים בגאומטריה רגילה.

בשדה הכללי של מרחבי מכפלה פנימית, שני וקטורים אורתוגונליים אם המכפלה הפנימית שלהם היא אפס. כלומר, כמו שבגאומטריה ישרים בניצב יוצרים זווית של 90 מעלות, כאן זהו הכלל המתאים לווקטורים.

מכפלה פנימית קובעת מתי וקטורים אורתוגונליים, ומשם נובעים רעיונות של אורך, זווית ותת־מרחבים משניים. תכונות בסיסיות של המכפלה הפנימית מאפשרות להסיק תכונות כלליות על וקטורים ותת־מרחבים.

וקטור נקרא אורתוגונלי לתת־מרחב אם הוא אורתוגונלי לכל איבר בתת‑המרחב. מספיק לבדוק את זה ביחס לבסיס של תת‑המרחב.

המשלים האורתוגונלי של תת־מרחב הוא כל הווקטורים שאורתוגונליים לכל איבר בו. בדוגמאות פשוטות: במישור דו־ממדי המשלים של ישר הוא הישר המאונך לו. במרחב תלת־ממדי המשלים של ישר הוא המישור המאונך לו ולהפך.

בהסתברות אומרים שמשתנים מקריים אורתוגונליים אם התוחלת (הערך הממוצע) של המכפלה שלהם שווה לאפס.

קבוצה אורתוגונלית היא קבוצה שכל זוג איברים בה אורתוגונליים. אם בנוסף כל וקטור בקבוצה באורך 1 (מונורמל), קוראים לה אורתונורמלית. זה שימושי כי בסיס אורתונורמלי מקל חישובים. אפשר לבנות בסיס כזה מכל בסיס באמצעות תהליך גרם, שמידט.

הבסיס הסטנדרטי במרחב האוקלידי הוא אורתונורמלי תחת המכפלה הסטנדרטית. אופרטורי סיבוב מיוצגים בדרך כלל במטריצות שמקיימות תנאים אורתונורמליים.

יש משפחות פולינומים שלמות שאורתוגונליות ביחס למכפלה פנימית מסוימת. דוגמאות חשובות הן פולינומי לז'נדר, פולינומי צ'בישב ופולינומי הרמיט.

אורתוגונליות היא רעיון כללי ל'ניצבות'.

שני וקטורים אורתוגונליים אם משהו שנקרא מכפלה פנימית שווה לאפס. מכפלה פנימית היא דרך לחשב יחס בין שני וקטורים, כמו למדוד זווית.

וקטור הוא אורתוגונלי למרחב אם הוא אורתוגונלי לכל וקטור במרחב הזה. מספיק לבדוק מול הווקטורים הבסיסיים.

המשלים האורתוגונלי של קבוצה הוא כל הווקטורים ש'מונחים' בזווית נכונה אל הקבוצה. בדוגמה פשוטה: במישור, המשלים של ישר הוא הישר שניצב אליו.

קבוצה היא אורתונורמלית אם כל הווקטורים בה ניצבים זה לזה וכל אחד מהם באורך 1. יש שיטה שנקראת גרם-שמידט שממירה קבוצה של וקטורים לקבוצה כזו.

הבסיס הסטנדרטי של המרחב הוא אורתונורמלי. יש משפחות של פולינומים שמקיימות אורתוגונליות, כמו צ'בישב והרמיט.