פונקטור

במתמטיקה, ובמיוחד בתורת הקטגוריות, פונקטור (נקרא גם העתקן) הוא סוג של העתקה בין קטגוריות. המונח הוטבע על ידי רודולף קרנפ, ואומץ על ידי סאונדרס מק'ליין, אחד ממייסדי תורת הקטגוריות.

יהיו C ו-D שתי קטגוריות. פונקטור קו-וריאנטי F מ-C ל-D מקצה לכל אובייקט ב‑C אובייקט ב‑D, ולכל מורפיזם (חץ שמייצג פעולה או העברה בין אובייקטים) ב‑C מורפיזם מתאים ב‑D. בנוסף, פונקטור שומר על מורפיזם הזהות ועל פעולת הרכבת המורפיזמים. כלומר, אם מרכיבים שתי פעולות ב‑C ולאחר מכן מיישמים F, מקבלים את אותה תוצאה כמו אם מיישמים את F על כל פעולה בנפרד ואז מרכיבים ב‑D.

העתקה הפועלת על מורפיזמים בכיוון ההפוך נקראת פונקטור קונטרה-וריאנטי. משמעותה היא שהכיוון של החצים הופך כאשר מעבירים אותם לעולם השני.

דוגמה קלאסית מטופולוגיה אלגברית: קשרים בין מרחבים טופולוגיים (כמו צורות) למבנים אלגבריים. למשל, החבורה היסודית מקצה לכל מרחב טופולוגי חבורה אלגברית, ולכל פונקציה רציפה בין מרחבים מקצה הומומורפיזם אלגברי. כך פונקטורים מרגילים לבנות גשרים בין תחומים שונים במתמטיקה.

לכל זוג עצמים X ו‑Y ב‑C הפונקטור יוצר מפה בין קבוצות המורפיזמים Hom_C(X,Y) ל‑Hom_D(F(X),F(Y)). לשמות כמו "נאמן" ו"מלא" מתייחסים לתכונות של המפות האלה.

עבור שני פונקטורים F ו‑G מאותה קטגוריה C ל‑D, העתקה טבעית η מקצה לכל אובייקט X במערכת מורפיזם η_X: F(X)→G(X). התנאי שצריכים לעמוד בו אומר שאם עוברים קודם דרך F ואז עושים את ה־η, זה זהה לעבור קודם דרך ה־η של המקור ואז דרך G. אם כל ה־η_X הם איזומורפיזמים ב‑D, קוראים להעתקה איזומורפיזם טבעי, ואז הפונקטורים F ו‑G נחשבים לאיזומורפים.

פונקטור הוא כלל שמקשר בין שני עולמות מתמטיים. כל עולם נקרא קטגוריה. קטגוריה היא אוסף של דברים וחצים שמקשרים ביניהם.

פונקטור נותן לכל דבר בעולם הראשון דבר בעולם השני. הוא גם נותן לכל חץ בעולם הראשון חץ בעולם השני. הוא שומר על חצים חשובים שנקראים זהויות. הוא שומר גם על הדרך שבה מחברים חצים יחד.

בטופולוגיה אלגברית מקשרים צורות למבנים אלגבריים. למשל, לכל צורה מקצים חבורה. כל פונקציה רציפה בין צורות מקבלת מפה בין החבורות.

כל פונקטור יוצר מפה בין קבוצות של חצים בין שני דברים. יש שמות מיוחדים לתכונות של מפה זו, כמו "נאמן" ו"מלא".

העתקה טבעית היא דרך להשוות בין שני פונקטורים. היא נותנת לכל דבר בחירה של חץ שמקשר את התוצאות של הפונקטורים. התנאי אומר שאם מבצעים פעולות בסדר שונה, מקבלים את אותה תוצאה. אם כל החצים האלה ניתנים להפיכה, קוראים לזה איזומורפיזם טבעי.