פונקציה חסומה

פונקציה חסומה היא פונקציה (ממשית או מרוכבת) שכל ערכיה מוגבלים בגודלם על ידי מספר קבוע. אומרים שפונקציה "חסומה בתחום A" אם קיים מספר M כך שלכל x ב‑A מתקיים |f(x)| ≤ M. פונקציה נקראת "חסומה מלמעלה" אם קיימת גבול עליון M כך ש‑f(x) ≤ M לכל x, ו"חסומה מלמטה" אם יש גבול תחתון m כך ש‑f(x) ≥ m לכל x.

תכונה בסיסית: f : A → ℝ חסומה אם ורק אם התמונה שלה f(A) היא קבוצה חסומה. אחרת אמרנו, יש קטע סופי שמכיל את כל הערכים של הפונקציה. פונקציה חסומה בדיוק כאשר היא חסומה מלמעלה וגם חסומה מלמטה.

לפי משפט ויירשטראס הראשון, כל פונקציה רציפה בקטע סגור היא חסומה על אותו קטע. באופן כללי יותר, כל פונקציה רציפה המוגדרת על מרחב קומפקטי היא חסומה.

פונקציה קבועה היא תמיד חסומה. באופן כללי, פונקציה שמקבלת מספר סופי של ערכים ממשיים גם היא חסומה.

בתורת המידה מושג "חסומה" פחות מספיק, כי פונקציות יכולות לקבל ערכים אינסופיים. לדוגמה, פונקציית דלתא שווה 0 בכל מקום חוץ מ‑0, ושווה ∞ ב‑0, אינה חסומה.
מכאן מגדירים את ה‑essential supremum (esssup) ואת ה‑essential infimum (essinf) של פונקציה מדידה בעזרת תנאי מידה: esssup(f)=inf{a ∈ ℝ : μ(f^{-1}(a,∞))=0} ו‑essinf(f)=sup{a ∈ ℝ : μ(f^{-1}(-∞,a))=0}. הגדרות אלה שימושיות בהגדרת המרחב L^∞ ונורמת הסופרמום.

פונקציה היא חוק שמקבל מספר ומחזיר מספר. פונקציה חסומה אומרת שכל הערכים שלה לא גדולים מדי. זה אומר: יש מספר קבוע שממנו אף ערך לא גדול מאוד.

אם כל הערכים של הפונקציה נמצאים בתוך קטע קטן, הפונקציה חסומה. פונקציה חסומה גם אם היא גם חסומה מלמעלה וגם חסומה מלמטה. "חסומה מלמעלה" אומרת שיש גבול עליון שלא עוברים אותו. "חסומה מלמטה" אומרת שיש גבול תחתון שלא יורדים ממנו.

אם פונקציה רציפה כלומר בלי קפיצות על קטע סגור, היא תמיד חסומה על אותו הקטע. זה אומר שלא יכול להיות ערך של הפונקציה שהוא בלתי-נשלט.

פונקציה קבועה, שמחזירה אותו מספר תמיד, היא דוגמה פשוטה לפונקציה חסומה.

יש פונקציות שמקבלות ערך מאוד גדול שנקרא "אין‑סופי". דוגמה כזו היא פונקציית דלתא. בתורת המידה משתמשים ברעיון של "חסומה בעיקר" כדי להתייחס לפונקציות שכמעט כל הערכים שלהן מוגבלים, חוץ מאזור קטן שאפשר להתעלם ממנו.