פונקציה רציפה (טופולוגיה)
פונקציה רציפה בטופולוגיה היא חוק שמקשר בין שתי קבוצות של נקודות. טופולוגיה היא דרך להגיד מי קרוב למי בלי לדבר על מרחק. פונקציה היא רציפה אם כל קבוצה פתוחה בטווח לה יש מקור פתוח במקור. מקור פתוח זה קבוצה של נקודות שנשלחות לתוך הקבוצה בטווח. במילים פשוטות: אפשר לבחור סביבת מקור קטנה ש־f שולחת אותה לת...
פונקציה רציפה במידה שווה
רציפות אומרת: אם נזיז מעט את הקלט, הערך ישתנה מעט. רציפות במידה שווה אומר שיש לכל כמות שינוי אפשרית מרחק אחד בלבד שיעבוד לכל הקטע. זה אומר שהפונקציה לא מתפרצת במקום מסוים. אם הפונקציה רציפה על קטע שסגור וחסום (קטע שיש לו גבולות), אז היא גם רציפה במידה שווה. זה משפט חשוב שנקרא משפט קנטור. תנאי נו...
פונקציה רציפה (אנליזה)
רציפות אומרת שפונקציה לא "קופצת" במקום. אם כשמתקרבים לנקודה הערכים מתקרבים לאותו ערך, הפונקציה רציפה שם. הגדרה פשוטה: לכל מרחק קטן בין הערכים, אפשר למצוא מרחק קטן בקלט, כך שהערכים יהיו קרובים. עוד דרך להגיד את זה: אם בכל רשימה של מספרים שמתקרבת לנקודה, הערכים של הפונקציה על הרשימה מתקרבים לערך בנקו...
טופולוגיה דיסקרטית
בטופולוגיה, הטופולוגיה הדיסקרטית היא מצב שבו כל קבוצה פתוחה. טופולוגיה היא חוק שאומר אילו קבוצות פתוחות. כל תת־קבוצה נחשבת פתוחה כאן. אפשר לתאר אותה בעזרת מטריקה דיסקרטית. מטריקה היא דרך למדוד מרחקים. במטריקה הזו המרחק בין שתי נקודות שונות הוא תמיד אותו דבר. המרחב הדיסקרטי עומד בהרבה תכונות חשובות...
קולואיד
קולואיד הוא תערובת שבה חלקיקים זעירים טובעים בתוך חומר אחר. פאזה מפוזרת זה החומר הקטן. פאזה רציפה זה החומר שסביבו. החלקיקים קטנים מאוד, במידות כמו ננומטר (מאד קטן) או מיקרון (קצת יותר גדול). אם הם מאוד קטנים, זו תמיסה; אם הם גדולים, התערובת נפרדת. דוגמה פשוטה: שמן ומים שמתחברים בעזרת חלמון ביצה. יש ...
משפטי ויירשטראס
יש שני משפטים חשובים על פונקציות רציפות (פונקציה ששינוי קטן בקלט מביא לשינוי קטן בתוצאה). הם מדברים על פונקציות המוגדרות על קטע סגור וחסום, כלומר על טווח מספרים שאפשר לסגור בשתי נקודות. המשפט הראשון: פונקציה כזאת לא יכולה לגדול בלי סוף. זאת אומרת, כל הערכים שלה נשארים בתוך גבול מסוים. המשפט השני...
משפט רול
משפט רול מדבר על קו שמציירים לפונקציה בין שתי נקודות. אם הקו לא קופץ (רציפה) והקו חלק כך שיש לו משיק (גזירה), ו‑f(a)=f(b) כלומר הקו מתחיל ומסתיים באותו גובה, אז יש נקודה בתוך הקטע שבה המשיק מאוזן. המשיק המאוזן הוא קו מקביל לציר ה‑x. אפשר לדמיין שמציירים בעיפרון בין שתי נקודות באותו גובה. בלי להרי...
מרחב נורמלי
נורמלי פירושו שמפרידים שתי קבוצות סגורות עם שתי קבוצות פתוחות שונות. קבוצה סגורה היא קבוצה שמכילה את הגבול שלה. קבוצה פתוחה היא סביבת נקודות בלי הגבול בתוכה. אם כל נקודה גם היא קבוצה סגורה, קוראים למרחב T4. אפשר לחשוב על זה כאפשרות להפריד דברים בצורה ברורה. הלמה של אוריסון אומרת: יש פונקציה רציפה ...
פונקציית אוריסון
פונקציית אוריסון היא פונקציה מיוחדת שמפרידה שתי קבוצות. פונקציה היא חוק שנותן מספר לכל נקודה. פונקציה רציפה לא קופצת; היא משתנה בהדרגה. אם שתי קבוצות אינן חולקות נקודות, אפשר למצוא פונקציה שנותנת 0 לכל הנקודות של הקבוצה הראשונה ו-1 לכל הנקודות של השנייה. הלמה של אוריסון אומרת שבחלק מהמקומות במתמטי...
אקסיומות ההפרדה
אקסיומות ההפרדה הן חוקים על מרחבים טופולוגיים. טופולוגיה היא אוסף של "אזורים פתוחים" במרחב. החוקים עוזרים להבין מתי אפשר להבדיל בין נקודות או קבוצות. בדרך הקלה מפרידים שתי נקודות על ידי שתי קבוצות פתוחות שונות. זה כמו לשים כל נקודה בבלון שונה. אפשר גם להפריד בעזרת סביבות סגורות. סביבה היא קבוצה ש...
משפט הערך הממוצע של קושי
יש שתי פונקציות f ו-g שממשיכות בלי קפיצות על הקטע [a,b]. "רציפה" זה בלי קפיצות. לשתי הפונקציות יש נגזרת (כלומר אפשר למדוד קצב שינוי) בתוך הקטע (a,b). אם הנגזרת של g לא שווה לאפס בתוך הקטע, אז יש נקודה c שבתוכה כך שהנגזרות שלהן עומדות ביחס זהה לפרשי הערכים בסוף הקטע: הנגזרת f'(c) חלקי g'(c) שווה ל-(f...
פונקציה חסומה
פונקציה היא חוק שמקבל מספר ומחזיר מספר. פונקציה חסומה אומרת שכל הערכים שלה לא גדולים מדי. זה אומר: יש מספר קבוע שממנו אף ערך לא גדול מאוד. אם כל הערכים של הפונקציה נמצאים בתוך קטע קטן, הפונקציה חסומה. פונקציה חסומה גם אם היא גם חסומה מלמעלה וגם חסומה מלמטה. "חסומה מלמעלה" אומרת שיש גבול עליון שלא ע...
משפט ערך הביניים
אם יש פונקציה שאפשר לצייר בלי להרים את העיפרון (זה נקרא רציפה), והיא נותנת שני מספרים שונים בקצוות, אז היא תיתן גם כל מספר שממוקם ביניהם. דמיין קו שמתחיל בערך אחד ומסתיים בערך אחר. על הדרך הקו עובר בכל הערכים שביניהם. דרך אחת: בוחרים את המקום הראשון שבו הערך הופך להיות גדול מהמטרה. במקום הזה מר...
משפט קנטור לרציפות במידה שווה
משפט קנטור אומר: אם פונקציה רציפה על קטע סגור, היא רציפה באותו אופן בכל הקטע. רציפה כאן פירושה שאין קפיצות פתאומיות בתוצאות. רציפות במידה שווה (אחידה) פירושה: אותו כלל קטן של שינוי ב-x עובד לכל נקודה בקטע. נניח שהפונקציה רציפה אבל לא אחידה. אז יש מרחק קטן רציף בין כל זוג נקודות x_n ו-y_n, אבל הערכי...
משפט נקודת השבת של בראואר
משפט נקודת השבת של בראואר אומר: אם מפה רציפה מחזירה כל נקודה בתוך הכדור אל בתוך אותו הכדור, יש נקודה שאותה המפה לא משנה. הכדור כאן הוא כל הנקודות שלא נמצאות רחוק יותר מ־1 מהמרכז. "רציפה" פירושו: כשזזים מעט את הנקודה, התמונה לא קופצת. דוגמה פשוטה: קמטים דף נייר בלי לקרוע ועוברים אותו מעל דף אחר זהה...
התפלגות
התפלגות היא דרך לראות כמה סיכוי יש לכל תוצאה באירוע אקראי. מרחב ההסתברות הוא כל התוצאות האפשריות. למשל, בגבהים של נשים, 160, 165 ס"מ קורים הרבה יותר מ‑180 ס"מ. התפלגות בדידה נותנת לכל ערך סיכוי מסוים. אפשר לכתוב את זה בטבלה. התפלגות רציפה נותנת סיכוי לקטעים של מספרים. לנקודה אחת בדרך כלל ההסתברות ה...
מרחב נורמלי באופן מושלם
מרחב נורמלי באופן מושלם הוא מרחב שבו אפשר להפריד היטב שתי קבוצות סגורות. קבוצה סגורה היא קבוצה שכוללת את נקודות הקצה שלה. ההפרדה נעשית בעזרת פונקציה רציפה. פונקציה רציפה היא פונקציה בלי קפיצות. אם יש פונקציה f כזו ש־f(x)=0 בדיוק על A ו־f(x)=1 בדיוק על B, ההפרדה מושלמת. אם כל נקודה היא קבוצה סגורה קו...
הלמה של אוריסון
הלמה של אוריסון היא רעיון בטופולוגיה. היא הוכיחה שיש דרך להפריד שתי קבוצות סגורות שונות. אם המרחב הוא "נורמלי" אפשר למצוא פונקציה רציפה. פונקציה רציפה, פונקציה שלא מקפיצה ערכים. הפונקציה שולחת את כל הנקודות של A ל־0 ואת כל הנקודות של B ל־1. הוכחת ההלמה בונה סביב A סדרת טבעות פתוחות, כמו קליפות ...
מרחב רגולרי לחלוטין
מרחב רגולרי לחלוטין הוא מקום שבו אפשר להפריד נקודה מקבוצה סגורה. קבוצה סגורה היא קבוצה הכוללת את הגבול שלה. ההפרדה נעשית בעזרת פונקציה רציפה. פונקציה רציפה זה דבר שלא קופץ. היא נותנת את המספר 0 לכל נקודות הקבוצה ואת המספר 1 לנקודה שמחוץ לה. מרחב טיכונוף הוא מרחב כזה שבו כל נקודה היא גם קבוצה סגורה...
עקום פאנו
עקום פאנו הוא קו רציף שממלא ריבוע. "רציף" כאן אומר שהקֶו לא קופץ ואין קטעים חסרים. הקו נבנה על ידי המתמטיקאי ג'וזפה פאנו ב-1890. הוא רצה להראות שמשתמע שקטע של קו יכול להתאים לכל נקודות הריבוע. הבניית הקו נעשית בשלבים. בכל שלב בונים קויים קצרים ומחברים אותם. בכל שלב הקו נהיה יותר מדויק. בסוף הקו עו...
בדיקת חלקיקים מגנטיים
בדיקה באמצעות חלקיקים מגנטיים מוצאת סדקים במתכות שמגנטיות. מגנטיות זה הכוח שמושך מתכות. מגנוט (להפוך לחזק כמגנט) גורם לשדה מגנטי לעבור דרך החלק. אם יש סדק, השדה בורח החוצה. חלקיקים קטנים נמשכים לשם ומראים איפה הפגם. השיטה עובדת רק על מתכות שמגנטיות בטבע. החלקיקים הם שבבים קטנטנים או תרחיף שמנוני. ...
שכיח
השכיח הוא הערך שמופיע הכי הרבה פעמים ברשימה. למשל, ברשימה [1, 3, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 12, 12, 17] השכיח הוא 6. ברשימות של מספרים או שמות סופרים מי מופיע הכי הרבה. אם שני ערכים מופיעים הכי הרבה, יש שני שכיחים. כשכל ערך שונה, מחלקים את הערכים לקבוצות קטנות שנקראות מחלקות. היסטוגרמה היא גרף שבו עמודה...
מרחב קשיר מסילתית
קשירות מסילתית אומרת שאפשר לחבר כל שתי נקודות במרחב בעיקול רציף. מסילה היא קו שנצייר מבלי לקפוץ. דוגמאות: קו ממשי (ℝ) וכל המישורים הם כאלה. גם קטע פשוט הוא כזה. אם אפשר לחבר כל שתי נקודות במסילות, אז המרחב גם קשור (אי אפשר לחלק אותו לשני חלקים נפרדים). עקומת הסינוס מורכבת משתי חלקים: A ו־B. כל חל...
עקומה
עקומה היא קו רציף. אפשר לכופף או לפיתל קו ישר בלי לקרוע אותו. במילים פשוטות, עקומה ניתנת על ידי פונקציה רציפה. רציף אומר שאין קפיצות בקו. עקומה פשוטה לא עוברת על אותה נקודה פעמיים. אין בה לולאות. עקומה רגולרית לא נעצרת. אין נקודה שבה המהירות היא אפס. עקומה סגורה מחזירה את עצמה בקצה. דוגמה ידועה ...
מרחב קשיר
קשירוּת אומרת שמרחב הוא חתיכה אחת שאי־אפשר לחלק לשתי חתיכות פתוחות נפרדות. פירוק הוא לחלק את המרחב לשתי קבוצות פתוחות שנפרדות. פירוק שבו אחת הקבוצות ריקה נקרא טריוויאלי. מרחב קשיר הוא כזה שאי־אפשר לפרקו כך. המספרים על הישר הם חתיכה אחת. קטע כמו מ‑0 עד 1 הוא חתיכה אחת. המישור שרוצים עליו מציירים תמ...
קבוצה קומפקטית
קבוצה קומפקטית היא קבוצה שאפשר "לכסות" בכמה פתוחות ואז לבחור מעט מהן שעדיין מכסות. כיסוי פתוח זה אוסף של קבוצות פתוחות שאיחודן כולל את כל הנקודות. תת-כיסוי הוא כמה קבוצות מהכיסוי הזה שמכסות גם כן. חוקרים למדו את הרעיון הזה לפני מאה שנים. דוגמאות חשובות עזרו להבין את המושג. אם מכל כיסוי פתוח אפשר ל...