פונקציה ליניארית

בחדו"א ובגאומטריה אנליטית, פונקציה ליניארית היא פולינום מדרגה אחת או פחות. היא ניתנת לכתיבה בצורה f(x)=ax+b, כאשר a ו-b הם קבועים. הגרף שלה הוא ישר שלא אנכי. a נקרא שיפוע, כמה הישר תלול. b היא נקודת החיתוך עם ציר ה‑y, הערך של f(0). אם b=0 קוראים לפונקציה הומוגנית; כלומר היא עוברת בראשית הצירים. אם a=1 ו‑b=0 זוהי פונקציית הזהות.

ניתן להכליל למספר משתנים: f(x1,...,xk)=b+a1 x1+...+ak xk. הגרף במקרה זה הוא היפר‑מישור מממד k.

הצורה השימושית ביותר היא שיפוע‑חיתוך f(x)=ax+b, שמציגה את a ואת b מיד. בצורת נקודה‑שיפוע כותבים את הישר עם שיפוע נתון שעובר דרך נקודה ידועה. אם יודעים שתי נקודות אפשר לחשב את השיפוע ולהציבו בצורת שיפוע‑חיתוך; זו המשוואה של הישר היחיד שעובר דרך שתי נקודות שונות.

גוף הנע במהירות קבועה v: המרחק הוא פונקציה ליניארית של הזמן. גם המרת טמפרטורה מצלזיוס לפרנהייט היא פונקציה מסוג זה.

משוואה מהצורה Ax+By=C, אם B שונה מאפס, ניתנת לכתיבה כ־y=ax+b על ידי מציאת a ו‑b מתאימים. במקרה B=0 מתקבל ישר אנכי שלא ניתן להציג כ־y=f(x).

בא־לג'ברה ליניארית, פונקציה ליניארית, שנקראת גם העתקה ליניארית, היא העתקה בין מרחבים וקטוריים ששומרת על חיבור ו על כפל בסקלר. כלומר, אם f היא העתקה ליניארית, אז f(x+y)=f(x)+f(y) ו‑f(αx)=αf(x). כאן וקטור הוא אובייקט עם כיוון וגודל, וסקלר הוא מספר שמכפיל וקטור.

אם המתאר הוא העתקה ליניארית בין מרחבים מממד 1 (f:ℝ→ℝ), היא מקיימת f(x)=ax עבור מספר a כלשהו. ההוכחה: נגדיר a=f(1). אז לכל x מקיים f(x)=f(x·1)=x·f(1)=ax.

פונקציה ליניארית יוצרת קו ישר. היא חוק שמקבל מספר x ומחשב y לפי כפל וחיבור.

a הוא השיפוע. השיפוע אומר כמה הישר תלול. b היא נקודת החיתוך. זו הנקודה שבה הקו נוגע בציר ה‑y. אם b=0, הקו עובר בראשית הצירים.

הצורה הפשוטה מראה את השיפוע ואת נקודת החיתוך. אם יודעים נקודה ושיפוע אפשר לכתוב את המשוואה. אם יודעים שתי נקודות מחשבים את השיפוע והקו עובר דרכן.

אם גוף נע במהירות קבועה, המרחק שהוא עובר הוא פונקציה ליניארית של הזמן. המרת טמפרטורה מצלזיוס לפרנהייט היא גם דוגמה פשוטה.

באלגברה ליניארית אומרים שהעתקה ליניארית שומרת על חיבור וכפל במספרים. כלומר, ההעתקה מתנהגת יפה כשמוסיפים וקטורים וכשכופלים אותם במספרים.

אם בוחנים העתקה ליניארית בממדים 1, היא מתאימה לחוק של כפל במספר קבוע. מספיק לדעת מה ההעתקה עושה ל‑1, ואז יודעים אותה לכל מספר אחר.