פונקציה פשוטה

פונקציה פשוטה היא פונקציה שמקבלת רק מספר סופי של ערכים שונים על תתי־קבוצות של המרחב.
פונקציה פשוטה מעל מרחב מידה (X,S,μ) נכתבת כסכום ליניארי סופי של פונקציות מציינות. הנוסחה היא s(x)=∑_{k=1}^n a_k 1_{A_k}(x). כאן 1_{A_k} היא פונקציית מציין, היא מקבלת 1 בתוך הקבוצה A_k ו־0 מחוצה לה. הערכים a_k הם סקלרים, ולרוב נבחר שהם ממשיים.
כדי ש־s תהיה מדידה, מספיק שכל הקבוצות A_k יהיו מדידות (A_k∈S). מבנה זה מפשט חישובים ומאפשר להסיק תכונות מהקבוצות עצמן.
פונקציות פשוטות חשובות כי הן צפופות בפונקציות המדידות: כל פונקציה מדידה אי־שלילית היא גבול במידה של סדרה עולה של פונקציות פשוטות.
האינטגרל של פונקציה פשוטה מוגדר כסכום של הערכים כפול המידה של הקבוצות: ∫ s dμ = ∑_{k=1}^n a_k μ(A_k). אם ערך אינסופי מופיע על קבוצה שמידתה אפס, תורמים אפס לסכום.
לאינטגרל של פונקציות פשוטות יש תכונות כמו אדיטיביות, הוצאת סקלר ומונוטוניות. עבור פונקציה חיובית מדידה מגדירים את האינטגרל כסופרימום של אינטגרלים של פונקציות פשוטות s≤f. מסקנות רבות עבור פונקציות כלליות נובעות מהעבודה על פונקציות פשוטות, למשל משפט ההתכנסות המונוטונית.

פונקציה פשוטה לוקחת רק כמה ערכים שונים.
פונקציה פשוטה בונה מערכים על קבוצות. כל מקטע הוא מספר קבוע על קבוצה.
פונקציית מציין היא פונקציה שמקבלת 1 בתוך קבוצה ו־0 מחוץ לה.
"מידה" היא כמו גודל של קבוצה. בדרך כלל בוחרים קבוצות שמודדות.
אפשר להשתמש בפונקציות פשוטות כדי להתקרב לפונקציות גדולות יותר.
האינטגרל של פונקציה פשוטה הוא סכום של כל ערך כפול גודל הקבוצה שלו.
האינטגרל מתנהג טוב: אפשר לחבר פונקציות ולהוציא מספרים החוצה.
בדרך זו לומדים על פונקציות קשות בעזרת פונקציות פשוטות.