פונקציית זטא הוא שם כללי לקבוצה של פונקציות מרוכבות. השם מקבל את השראתו מפונקציית זטא של רימן, אך המושג אינו מוגדר באופן חד־משמעי. יש פונקציות שנקראות זטא גם אם אינן מקיימות את כל התכונות המקובלות.
ברמה הכללית פונקציית זטא ניתנת לייצוג כטור דיריכלה (סכום של איברים תלויי חזקת משתנה s). בצורה מפורשת:
ζ(s)=∑ a_i z_i^s
כאן a_i ו־z_i הן סדרות של מספרים חיוביים. המקדמים a_i והמספרים z_i בדרך כלל מקודדים מידע כמותי על אובייקט מתמטי, ופונקציית הזטא מאפשרת לחקור את אותו אובייקט באמצעות כלים של אנליזה מרוכבת.
לעתים דורשים לפונקציית זטא תכונות נוספות, בדומה למה שמצפים מפונקציות L. דרישות נפוצות הן: שה־z_i יהיו מספרים שלמים (אז זה טור דיריכלה קלאסי), קיום מכפלת אוילר (ייצוג כמכפלה מעל איברים בסיסיים), הארכה מרומורפית לכל המישור (הארכה אנליטית שמותרת לה נקודות קוטב), ומשוואה פונקציונלית שמקשרת ערכים של הפונקציה ב־s ו־1−s.
ניתן להתייחס לפונקציות L כגרסאות "מעוותות" של זטא, שבהן המקדמים a_i אינם חייבים להיות חיוביים או ממשיים. החיוביות של a_i מקלה על המחקר, לדוגמה בזכות למה של לנדאו.
(אין דוגמאות מפורטות בטקסט המקורי.)
פונקציית זטא הוא שם שמ mathematicians משתמשים בו לכמה פונקציות מיוחדות. השם מגיע מפונקציית זטא של רימן.
פונקציה כזו נראית לעתים כמו סכום כזה:
ζ(s)=∑ a_i z_i^s
זה אומר שמוסיפים הרבה איברים. a_i הם מספרים חיוביים. z_i גם מספרים חיוביים. המספרים האלה עוזרים לתאר אובייקט מתמטי.
לעתים מצפים מפונקציית זטא תכונות נוספות. רוצים ש־z_i יהיו שלמים (מספרים שלמים). רוצים גם שמתקבלת מכפלה מיוחדת שנקראת מכפלת אוילר. רוצים שהפונקציה תוכל להיות "מוארכת" לכל המספרים (הארכה מרומורפית, פירוש: אפשר לדבר עליה כמעט בכל מקום, אולי עם כמה נקודות יוצאות דופן). וגם לעתים יש לה משוואה שמחברת ערכים שונים שלה.
יש פונקציות קרובות בשם פונקציות L. שם המקדמים a_i לא תמיד חיוביים, לכן קוראים להן "מעוותות" של זטא.
(אין דוגמאות מפורטות בטקסט המקורי.)
תגובות גולשים