קבוצה קומפקטית

קבוצה קומפקטית היא תת-קבוצה של מרחב טופולוגי כך שלכל כיסוי פתוח שלה יש תת-כיסוי סופי. כיסוי פתוח הוא אוסף קבוצות פתוחות שאיחודן מכסה את כל הקבוצה. מרחב שלם שמקיים את התכונה הזו נקרא מרחב קומפקטי.

קומפקטיות מקבילה ברעיונה לרעיון של "קטנות טופולוגית": היא הכללה של מושג "סגור וחסום" במרחבים מטריים. בדוגמה המפורסמת, הקטע [0,1] בממשיים הוא קומפקטי. במשפט היינה, בורל נאמר שב-R^n כל קבוצה סגורה וחסומה היא קומפקטית.

המושג הופיע בראשית המאה ה-20, אבל השורשים שלו קדומים יותר. בולצאנו וויירשטראס טיפחו רעיונות על גבולות של סדרות. היינה ובורל קישרו בין כיסויים פתוחים ותכונות רציפות, ופרשה טבע את המושג של קומפקטיות יחסית. אלכסנדרוב ואוריסון ניסחו את ההגדרה המודרנית.

כיסוי פתוח של קבוצה K הוא אוסף קבוצות פתוחות שכל נקודה ב-K שייכת לפחות לאחת מהן. תת-כיסוי הוא אוסף קטן יותר שעדיין מכסה את K. קומפקטיות אומרת שכל כיסוי פתוח של K מכיל תת-כיסוי סופי. כל קבוצה סופית היא דוגמה פשוטה לקומפקטית. יש נוסח מקביל בתנאי קבוצות סגורות: אם כל חיתוך סופי של משפחה של סגורות אינו ריק, אז גם החיתוך המלא אינו ריק.

תכונת לינדלוף דורשת שתמיד יש תת-כיסוי בן-מנייה. קומפקטיות מנייתית אומרת שלכל כיסוי בן-מנייה יש תת-כיסוי סופי. קומפקטיות חזקה יותר ומביאה גם את שתי התכונות האלה. יש גם הכללות כלליות יותר של הרעיון בעזרת כמותים (מונה) שונים.

מרחב סיגמא-קומפקטי הוא איחוד של רצף מנייה של קבוצות קומפקטיות. קיימות תכונות חזקות יותר, כמו תכונות מנגר והורביץ', המגבילות את הדרך שבה נבחרים תתי-הכיסויים מסדרות של כיסויים. יש יחסים לוגיים בין התכונות האלה; חלק מהם אינם הפיכים כלל.

קומפקטיות מקבילה גם לתכונות נוספות שניתן לנסח דרך חיתוכים סופיים, מסננים (filters) או אולטראמסננים. תחת אקסיומת הבחירה, מרחב קומפקטי שקול לכך שכל על-מסנן מתכנס.

קומפקטיות סדרתית אומרת: לכל סדרה בקבוצה קיימת תת-סדרה מתכנסת. במשפט בולצאנו, ויירשטראס זה תכונה מרכזית בקבוצות קומפקטיות במרחבים מטריים. במרחבים מטריים שתי התכונות האלה שקולות.

מרחב מטרי קומפקטי בחסימות אומר שכל קבוצה סגורה וחסומה היא קומפקטית. היינה, בורל קובע זאת במרחב האוקלידי. כל מרחב קומפקטי הוא גם קומפקטי בחסימות.

אחת הנוסחאות המקבילות: X קומפקטי אם ורק אם מכל משפחת סגורות שאין לה חיתוך ריק אפשר למצוא חיתוך סופי ריק. יש גם ניסוחים דרך התכנסות של מסננים.

במרחבים האוסדורף (Hausdorff), כל קבוצת קומפקטית היא סגורה. בנוסף, תמונת קבוצה קומפקטית תחת פונקציה רציפה היא קומפקטית. לכן פונקציה ממשית רציפה על קבוצה קומפקטית מקבלת מקסימום ומינימום, ותהיה רציפה במידה שווה על הקבוצה.

המשפט המרכזי: אם f
over X->Y רציפה ו-K⊂X קומפקטית, אז f(K) קומפקטית. מכך נובעים משפטי ויירשטראס וקנטור לגבי תמונה סגורה, חסומה ורציפות במידה שווה.

קבוצה קומפקטית היא קבוצה שאפשר "לכסות" בכמה פתוחות ואז לבחור מעט מהן שעדיין מכסות. כיסוי פתוח זה אוסף של קבוצות פתוחות שאיחודן כולל את כל הנקודות. תת-כיסוי הוא כמה קבוצות מהכיסוי הזה שמכסות גם כן.

חוקרים למדו את הרעיון הזה לפני מאה שנים. דוגמאות חשובות עזרו להבין את המושג.

אם מכל כיסוי פתוח אפשר לבחור תת-כיסוי סופי, הקבוצה קומפקטית. למשל כל קבוצה עם מספר סופי של נקודות היא קומפקטית. הקטע [0,1] בממשיים הוא דוגמה מפורסמת.

לינדלוף אומר שיש תמיד תת-כיסוי בן-מנייה. קומפקטיות מנייתית אומר שכאשר הכיסוי בן-מנייה, אפשר לבחור תת-כיסוי סופי.

סיגמא-קומפקטי אומר שמחלקים את המרחב לרצף של קבוצות קומפקטיות ואז מאחדים אותן.

יש נוסחאות אחרות של קומפקטיות שמשתמשות בחיתוכים של קבוצות סגורות.

קומפקטיות סדרתית אומרת שכל סדרה בקבוצה כוללת תת-סדרה שמתכנסת לנקודה בקבוצה. במרחבים עם מרחק, זה שקול לקומפקטיות.

במרחבים מסוימים, כל קבוצה סגורה שחסומה היא קומפקטית. זה מתקיים במרחב הרגיל של הממדים שאנו מכירים.

אפשר לתאר קומפקטיות גם על ידי חיתוכים סופיים של קבוצות סגורות.

בקצרה: בקבוצה קומפקטית דברים טובים קורים. למשל, פונקציה רציפה על קבוצה קומפקטית מקבלת ערך הכי גדול והכי קטן.

אם f רציפה ו-K קומפקטית אז התמונה f(K) גם קומפקטית. לכן אפשר להשתמש בתכונה זו למציאת מקסימום ומינימום.